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莱布尼兹
两人同步创立了微积分
导数及其应用
研究某个变量相对于另一种变量变化
导数研究的问题
的快慢程度．
变化率问题
第一次
第二次
问题一:气球膨胀率
气球的平均膨胀率为
气球的平均膨胀率为
当气球的空气容量从V1增长到V2时，
气球的平均膨胀率是多少？
思考
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
假如用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤,
在1≤ t ≤2这段时间里,
问题二:高台跳水
计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能精确反应当段段时间里运动状态.
探究
式子
平均变化率的定义
若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
这里Δx看作是相对于x1的一种“增量”可用x1+Δx替代x2
同理 Δy=f(x2)-f(x1)
Δy
Δx
=
f(x2) - f(x1)
x2 – x1
=
f(x1+Δx) – f(x1)
Δx
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
思考?
观测函数f(x)的图象
平均变化率
表达什么?
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1=△x
f(x2)-f(x1)=△y
直线AB的斜率
例1、已知函数 ，分别计算 在下列区间上 的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，]
4
3
例题讲解
=5x2+6在区间[2，2+△x]
内的平均变化率。
解 △ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6)
=20△x+5△x2
因此平均变化率为
例题讲解