文档介绍：该【2025年浙江省高考数学试卷和答案(理科) 】是由【haha】上传分享，文档一共【13】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2025年浙江省高考数学试卷和答案(理科) 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。2025年浙江省高考数学试卷和答案（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1、（ 2025•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（ ） A、﹣4或﹣2 B、﹣4或2 C、﹣2或4 D、﹣2或2 2、（ 2025•浙江）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）•=（ ） A、3﹣i B、3+i C、1+3i D、3 3、（ 2025•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ） A、 B、 C、 D、 4、（ 2025•浙江）下列命题中错误的是（ ） A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 5、（ 2025•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（ ） A、14 B、16 C、17 D、19
6、（ 2025•浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（ ） A、 B、﹣ C、 D、﹣ 7、（ 2025•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（ ） A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 的离心率e=，则k的值为（ ） 8、（ 2025•浙江）已知椭圆 A、4或 B、4 C、4或﹣ D、﹣ 9、（ 2025•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ） A、 B、 C、 D、 2210、（ 2025•浙江）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A、{S}=1且{T}=0 B、{S}=1且{T}=1 C、{S}=2且{T}=2 D、{S}=2且{T}=3 二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分） 211、（ 2025•浙江）若函数f（x）=x﹣|x+a|为偶函数，则实数a= _________ ．
12、（ 2025•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 _________ ． 2
n13、（ 2025•浙江）若二项式（x﹣）（a＞0）的展开式中x的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是 _________ ． 14、（ 2025•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是 _________ ． 15、（ 2025•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生 得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）= _________ ． 2216、（ 2025•浙江）设x，y为实数，若4x+y+xy=1，则2x+y的最大值是 _________ ． 17、（ 2025•浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为 _________ ． 三、解答题（共5小题，满分72分） 218、（ 2025•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b． （Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值； （Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围． 19、（ 2025•浙江）已知公差不为0的等差数列{a}的首项a为a（a∈R）设数列的前n项和为S，且，，成n1n等比数列． （Ⅰ）求数列{a}的通项公式及S； nn 3
（Ⅱ）记A=+++…+，B=++…+，当a≥2时，试比较A与B的大小． nnnn20、（ 2025•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP⊥BC； （Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由． 22221、（ 2025•浙江）已知抛物线C：x=y，圆C：x+（y﹣4）=1的圆心为点M 12（Ⅰ）求点M到抛物线C的准线的距离； 1（Ⅱ）已知点P是抛物线C上一点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，交抛物线C于A，B两点，若过M，121P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程． 222、（ 2025•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）lnx，a∈R （Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a； 2（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3a]，恒有f（x）≤4e成立． 注：e为自然对数的底数． 4
答案 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1、（ 2025•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（ ） A、﹣4或﹣2 B、﹣4或2 C、﹣2或4 D、﹣2或2 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。 专题：计算题。 分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a＞0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件 的a值． 解答：解：当a≤0时 若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4 当a＞0时 2若f（a）=4，则a=4，解得a=2或a=﹣2（舍去） 故实数a=﹣4或a=2 故选B 点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者． 2、（ 2025•浙江）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）•=（ ） A、3﹣i B、3+i C、1+3i D、3 考点：复数代数形式的混合运算。 专题：计算题。 分析：求出，然后代入（1+z）•，利用复数的运算法则展开化简为：a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到答案． 解答：解：∵复数z=1+i，i为虚数单位，=1﹣i，则（1+z）•=（2+i）（1﹣i）=3﹣i 故选 A． 点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数，考查计算能力，是基础题，常考题型． 5
3、（ 2025•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ） A、 B、 C、 D、 考点：由三视图还原实物图。
分析：根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案． 解答：解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形 故该几何体上部分是一个三棱柱 下部分是三个矩形 故该几何体下部分是一个四棱柱 故选D 点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 4、（ 2025•浙江）下列命题中错误的是（ ） A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 考点：平面与平面垂直的性质。 专题：常规题型。 分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可． 6
解答：解：由题意可知： A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立； B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立； C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立； D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误． 故选D． 点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思． 5、（ 2025•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（ ） A、14 B、16 C、17 D、19 考点：简单线性规划。 专题：计算题。 分析：本题考察的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3x+4y中，求出3x+4y的最小值． 解答：解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16． 故选B． 7
点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 6、（ 2025•浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（ ）
A、 B、﹣ C、 D、﹣ 考点：三角函数的恒等变换及化简求值。 专题：计算题。 分析：先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α） ﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案． 解答：解：∵0＜a＜，﹣＜β＜0， ∴＜+α＜，＜﹣＜ ∴sin（+α）==，sin（﹣）== ∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）= 故选C 8
点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用两角和公式进行求解． 7、（ 2025•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（ ） A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式。 专题：计算题。 分析：因为“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件． 解答：解：∵a、b为实数，0＜ab＜1， ∴“0＜a＜”或“0＞b＞” ∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”． “a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”， 所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件． 故选A． 点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用． 8、（ 2025•浙江）已知椭圆的离心率e=，则k的值为（ ） A、4或 B、4 C、4或﹣ D、﹣ 考点：椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合。 专题：计算题。 分析：分椭圆的焦点在x轴时和椭圆的焦点在y轴时两种情况进行讨论，分别表示出椭圆的离心率求得k． 22解答：解：当椭圆的焦点在x轴时，a=k+8，b=9 9
2∴c=k﹣1，由e=求得k=4， 22当椭圆的焦点在y轴时，b=k+8，a=9 2∴c=1﹣k，=，求得k=﹣ 故选C． 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为1+k与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论． 9、（ 2025•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、 考点：等可能事件的概率。 专题：计算题。 5分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A种结果，5123满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，共有CAA种结果，得到概率． 223解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 5试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A=120种结果， 5下分类研究同类数不相邻的排法种数 假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4×2×2×2×1=32种可能； 假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有4×1×2×1×1=8种可能； 假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1=8种可能． ∴同一科目的书都不相邻的概率P=， 故选B． 点评：本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题是浙江卷理科的一道选择题目，这种题目可以作为选择或填空出现，也可以作为一道解答题目出现． 2210、（ 2025•浙江）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A、{S}=1且{T}=0 B、{S}=1且{T}=1 C、{S}=2且{T}=2 D、{S}=2且{T}=3 10
考点：集合的包含关系判断及应用。 专题：计算题。 分析：通过给a，b，c赋特值，得到A，B，C三个选项有正确的可能，故本题可以通过排除法得到答案． 2解答：解：∵f（x）=（x+a）（x+bx+c），当f（x）=0时至少有一个根x=﹣a 2当b﹣4c=0时，f（x）=0还有一根只要b≠﹣2a，f（x）=0就有2个根；当b=﹣2a，f（x）=0是一个根 2当b﹣4c＜0时，f（x）=0只有一个根； 2当b﹣4c＞0时，f（x）=0只有二个根或三个根 当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0 当a＞0，b=0，c＞0时，{S}=1且{T}=1 当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2 故选D 点评：本题考查解决选择题时，常通过举特例，利用排除法将一定不正确的选项排除，从而选出正确选项，排除法是解决直接求解有困难的选择题的一个好方法，合理恰当的运用，可以提高解题的速度． 二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分） 211、（ 2025•浙江）若函数f（x）=x﹣|x+a|为偶函数，则实数a= 0 ．
考点：偶函数。 专题：计算题。 分析：根据f（x）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a的值． 解答：解：∵f（x）为偶函数 ∴f（﹣x）=f（x）恒成立 22即x﹣|x+a|=x﹣|x﹣a|恒成立 即|x+a|=|x﹣a|恒成立 所以a=0 故答案为：0 点评：本题考查偶函数的定义：f（x）=f（﹣x）对于定义域内的x恒成立． 12、（ 2025•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 5 ． 11
考点：程序框图。 专题：图表型。 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出k值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果． 解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 34第一圈 k=3 a=4b=3 44第二圈 k=4 a=4b=4 5第三圈 k=5 a=4b=54 此时a＞b，退出循环，k值为5 故答案为：5． 点评：对于流程图处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． n13、（ 2025•浙江）若二项式（x﹣）（a＞0）的展开式中x的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是 2 ． 考点：二项式系数的性质。 专题：计算题。 分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，0求出A，B；列出方程求出a． 解答：解：展开式的通项为 令得r= 12
所以A= 令得 所以B= ∵B=4A ∴ 解得a=2 故答案为：2 点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 14、（ 2025•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是 [30°，150°] ． 考点：数量积表示两个向量的夹角。 专题：计算题。
分析：根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角． 解答：解：∵||||sinθ= ∴sinθ=， ∵||=1，||≤1， ∴sinθ， ∵θ∈[0，π] ∴θ∈[30°，150°]， 故答案为：[30°，150°]，或[]， 点评：本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综合题目． 13
15、（ 2025•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生 得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）= ． 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。 专题：计算题。 分析：根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望． 解答：解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3， ∵P（X=0）=， ∴， ∴p=， p（x=1）=+= P（X=2）==， p（x=3）=1﹣=， ∴EX==， 故答案为： 点评：本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题目． 2216、（ 2025•浙江）设x，y为实数，若4x+y+xy=1，则2x+y的最大值是 ． 考点：基本不等式。 专题：计算题；转化思想。 分析：设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范 14
围，求出2x+y的最大值． 22解答：解：∵4x+y+xy=1 2∴（2x+y）﹣3xy=1 令t=2x+y则y=t﹣2x 2∴t﹣3（t﹣2x）x=1 22即6x﹣3tx+t﹣1=0 222∴△=9t﹣24（t﹣1）=﹣15t+24≥0 解得 ∴2x+y的最大值是 故答案为
点评：本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定． 17、（ 2025•浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为 ． 考点：椭圆的简单性质。 专题：计算题。 分析：根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一，建立等式求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得． 解答：解：∵2c=×2× 22∴3c=a， ∴e== 故答案为： 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可． 三、解答题（共5小题，满分72分） 218、（ 2025•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b． 15
（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值； （Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围． 考点：解三角形。 专题：计算题。 分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值． 22（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p，进而利用cosB的范围确定p的范围，进而确定pd 范围． 解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得 2故可知a，c为方程x﹣x+=0的两根， 进而求得a=1，c=或a=，b=1 2222222（Ⅱ）解：由余弦定理得b=a+c﹣2accosB=（a+c）﹣2ac﹣2accosB=pb﹣bcosB﹣， 2即p=+cosB， 因为0＜cosB＜1， 2所以p∈（，2），由题设知p＞0，所以＜p＜ 点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用． 19、（ 2025•浙江）已知公差不为0的等差数列{a}的首项a为a（a∈R）设数列的前n项和为S，且，，成n1n等比数列． （Ⅰ）求数列{a}的通项公式及S； nn （Ⅱ）记A=+++…+，B=++…+，当a≥2时，试比较A与B的大小． nnnn考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。 专题：计算题；证明题。 分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）的a和S，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理A与B，最后对a＞0和a＜0nnnn两种情况分情况进行比较．