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2025年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷
一、选择题（每题6分，共36分）
1．（6分）若代数式的值为零，则x的取值范围为（ ）
A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±2 D．x=2
2．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（ ）
A．68° B．80° C．88° D．46°
3．（6分）世界杯足球赛小组赛规定，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球数排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分．
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（ ）
A．﹣7 B．2 C．9 D．18
5．（6分）直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积S≤1，那么，k的取值范围是（ ）
A．﹣1≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k≤1 D．k≤﹣1或k≥1
6．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则弦BC的长为（ ）
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A． B．2 C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC= °．
8．（5分）已知关于x的方程﹣2=有一个正整数解，则正整数m的可能取值共有 个．
9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm（保留根号）．
10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为 ．
11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值= ．
12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题（本题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）
13．（11分）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．
14．（11分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，DE⊥DF．求证：EF2=BE2+CF2．（提示：要延长ED或FD，还要连接几条线段）
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15．（12分）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．
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2025年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题6分，共36分）
1．（6分）若代数式的值为零，则x的取值范围为（ ）
A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±2 D．x=2
【分析】根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
（x﹣2）（x+1）=0且|x|﹣1≠0，
解得x=2，
故选：D．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，利用分子为零分母不为零得出（x﹣2）（x+1）=0且|x|﹣1≠0是解题关键．
2．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（ ）
A．68° B．80° C．88° D．46°
【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质解答．
【解答】解：∵在△BPC中，∠BPC=134°，
∴∠1+∠2=180°﹣∠BPC=180°﹣134°=46°，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∴∠ABC+∠ACB=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×46°=92°，
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∴在△ABC中，∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣92°=88°．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，平分线性质．运用整体思想求出∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）是解题的关键．
3．（6分）世界杯足球赛小组赛规定，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球数排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分．
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】首先根据题意推出6场比赛后各队的得分之和不超过18分，再分两种情形讨论①若一个队得7分，②若一个队得6分，看看其他队的得分的可能性，即可解决问题．
【解答】解：4个队进行单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分或为3分，所以6场比赛后各队的得分之和不超过18分，
①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有3个队得分都大于或等于7分，所以这个队必定出线．
②若一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
故选：B．
【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．
4．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（ ）
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A．﹣7 B．2 C．9 D．18
【分析】设a+b=m，则ab=m+3，a2+b2变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．
【解答】解：设a+b=m，则ab=m+3，
a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3=0的两根，
a、b为实数，则△=（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，
解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，
∴a+b=m＞0，只有m≥6，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=m2﹣2（m+3）=（m﹣1）2﹣7，
可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，
∴当m=6时，a2+b2的值最小，为18．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数最值在确定代数式的值中的运用．本题要注意：①根据已知条件换元，转化为二次函数，②a、b为正实数条件的运用．
5．（6分）直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积S≤1，那么，k的取值范围是（ ）
A．﹣1≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k≤1 D．k≤﹣1或k≥1
【分析】根据直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，可以求得出A、B两点的坐标，由△AOB的面积S≤1，可以求得k的取值范围．
【解答】解：∵直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴点A的坐标为（﹣2k，0），点B的坐标为：（0，k），
∵△AOB的面积S≤1，
∴，
解得﹣1≤k≤1，
∵k=0时，点A的坐标为（0，0），点B的坐标为：（0，0），
∴此时点A、B、O组成的图形不能构成三角形，
∴k的取值范围是﹣1≤k≤1且k≠0．
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故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
6．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则弦BC的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】根据勾股定理即可求得BD的长，求得cos∠CAD的值，进而求得AC的值，根据勾股定理即可求得BC的值，即可解题．
【解答】解：如图，连AC、BD，过D作DE⊥AC于E．
∴∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠CAD．
∵BD==．
∵AD=DC=1，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠DCA=∠ABD，
cos∠CAD=cos∠ABD==．
∴AE=AD•cos∠CAD=，
∴AC=2AE=，
∴BC==．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了余弦函数的求值，考查了根据余弦值求对应边的值．
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二、填空题（每小题5分，共30分）
7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC= 108 °．
【分析】先设∠B=x，由AB=AC可知，∠C=x，由AD=DB可知∠B=∠DAB=x，由三角形外角的性质可知∠ADC=∠B+∠DAB=2x，根据DC=CA可知∠ADC=∠CAD=2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．
【解答】解：设∠B=x，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x，
∵AD=DB，
∴∠B=∠DAB=x，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x，
∵DC=CA，
∴∠ADC=∠CAD=2x，
在△ABC中，x+x+2x+x=180°，
解得x=36°．
∴∠BAC=108°．
故答案为：108．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理、三角形外角的性质等隐含条件．
8．（5分）已知关于x的方程﹣2=有一个正整数解，则正整数m的可能取值共有 4 个．
【分析】先去分母，解得x=6﹣m（x≠3），根据关于x的方程﹣2=有一个正整数解，m=5，4，2，1，0．则正整数m的可能取值共有5个．
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【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）=m，
解得：x=6﹣m，
x﹣3≠0，
x≠3，
∵关于x的方程﹣2=有一个正整数解，
∴m=5，4，2，1．
则正整数m的可能取值共有4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是求出分式方程的解．
9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm（保留根号）．
【分析】理解清楚题意，此题实际考查一个直径为24的圆，内接正三角形的边长．
【解答】解：已知此圆半径为12，
则OB=12mm．
在直角△OBD中，BD=OB•sin60°=6mm．
则可知边长为12mm，
就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．
【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．
10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为 ．
【分析】根据x+y=2，得出x=2﹣y，再根据2y2﹣y﹣4=0，得出y﹣=，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵x+y=2，
第10页（共18页）
∴x=2﹣y，
∵2y2﹣y﹣4=0，
∴2y﹣1﹣=0
∴2y﹣=1
∴y﹣=，
∴y﹣=y﹣=y﹣+1=+1=．
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的化简求值，关键是根据给出的式子进行变形得出y﹣=，注意要用整体代入法进行计算比较简单．
11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值= m2 ．
【分析】根据完全平方公式先把要求的式子进行分解，再把a，b，c的值代入即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc=（a+b﹣c）2=（m+1+m+2﹣m﹣3）2=m2；
故答案为：m2．
【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据完全平方公式把要求的式子进行变形，然后代入．
12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为 ．