大学数学练习题.pdf

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2023 年整理——小学教学资料（word 版）
大学数学习题及答案
一 填空题:
1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.
2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的根本解组充分必要条件是________.
3 方程 y ' ' 2 y ' y  0 的根本解组是_________.
4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间 .
5 方程 dy 2 的常数解是________.
dx  1  y
6 方程 x ' ' p ( t ) x '  q 一个非零解为x  0 x1(t) ,经过变换_______
( t )
7 假设 4(t)是线性方程组X ' A (t) X 的基解矩阵, 那么此方程组的任一解 4(t)=___________.
8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2 倍,那么此曲线方程为________.
9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.
10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.
11 一阶线性方程 y ' p ( x ) y  q ( 有积分因子x ) ( ).
12 求解方程dy 的解是( ).
dx   x / y
13( axy 2  3 x 2 y ) dx 为恰当方程 ( x,那么 a = ) x 2 dy  0
 dy 2 2
14   x  y ,R : x  1 ,y 1 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).
 dx
y(0)  0
15 方程  dy  2 dy 的通解是( ).
 dx   5 dx  6 y  0
 
16 方程  dy  4 3 的阶数为5 _______________.
dx   y  x  y
17 假设向量函数  1 ( x );  2 ( x );  在区间3 ( x ) D 上线性相关 n ( x ) , 那么它们的伏朗斯基行列式 w
(x)=____________.
18 假设 P(X)是方程组 dy 的根本解方阵那么该方程组的通解可表示为_________.
dx  A(x)
19．方程 x ( y 2  1)d x  y所有常数解是( x 2  1____________________) d y  0 ．
20．方程 y   4 y  0 的根本解组是____________________．
dy  y  1
21．方程 dx 满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．
22．函数组 1 ( x ),  2 ( x ), 在区间,  nI (上线性无关的x ) ____________________条件是它们的朗斯基行列式在区
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间 I 上不恒等于零．
23．假设 y   1 ( x ), y  是二阶线性齐次微分方程的根本解组，那么它们 2 ( x ) ____________________共同零点．
二 单项选择:
1 方程 dy 13 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是 ( ).
dx  x  y
(A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除 y 轴外的全平面
2 方程 dy ( ) 奇解.
dx  y  1
(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个
3 在以下函数中是微分方程y'' y  0 的解的函数是( ).
(A) y1 (B)y  x (C) y  sin x (D)y  ex
4 方程 y ' ' y  e x  x 的一个特解y* 形如( ).
(A)ae x  b (B)axe x  bx (C)ae x  bx  c (D)axe x  bx  c
5 f(y) 连续可微是保证方程dy 解存在且唯一的( )条件．
dx  f (y)
〔A〕必要 〔B〕充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分
6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).
(A)构成一个 2 维线性空间 (B)构成一个 3 维线性空间
(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间
7 方程 dy 2323 过点(0,0)有( ).
dx  3y
(A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解
8 初值问题 0 1 x , 1  在区间,    t   上的解是( ).
x'1 0 x(0)  1
   
(A) t  (B) e  (C) t  (D) e 
u(t)t u(t)   t u(t)   e u(t)   e
       
9 方程 dy 2 是( ).
dx  x y  cos x  0
(A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程
〔C)超越方程 (D)二阶线性方程
10 方程  dy  2 dy 的通解是( ).
 dx   3 dx  0
(A)C 1  C 2e 3x (B) C 1 x  C 2 e 3x (C)C 1  C 2e 3x (D)C2e3x
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11 方程  dy  2 dy 的一个根本解组是( ).
 dx   4 dx  4 y  0
(A) x,e2x (B) 1,e2x (C) x2,e2x (D) e 2x , xe 2x
12 假设 y1 和 y2 是方程  dy  2 dy的两个解,那么 y  e y  e y 〔e1,e2为任意常数〕
   p ( x )  q ( x ) y1 1 02 2
 dx  dx
(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解
(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解
13 方程 dy 2 过点(0,0)的解为y  sin x ,此解存在( ).
dx  1  y
(A)(,) (B) (,0] (C)[0,) (D)  
[ 2 , 2]
14 方程 y '  3 x 2 y  e x 是( ) .
(A) 可别离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程
15 微分方程 dy 1 的通解是( ).
dx  x y  0
(A) c (B) y  cx (C) 1 (D)y  x  c
y x y  x  c
16 在以下函数中是微分方程y'' y  0 的解的函数是( ).
(A)y1 (B)y  x (C)y  sin x (D)y  ex
17 方程 y ' ' y  e x  x 的一个数解yx 形如( ).
(A) ae x  b (B)axe x  bx (C)ae x  bx  c (D)axe x  bx  c
18 初值问题 0 1  1 在区间   t   上的解是( ).
x'1 0 x; x (0 )   1 
   
(A) t  (B) et  (C) t  (D)  e t 
u(t)    u(t)    u(t)   t  u(t)   t 
 t t    e    e 
dy  y
19 ．方程dx 的奇解是〔 〕．
〔A〕y  x 〔B〕y1 〔C〕y  1 〔D〕y0
dy  1  y 2 ( ,1)
20. 方程 dx 过点2 共有〔 〕个解．
〔A〕一 〔B〕无数 〔C〕两 〔D〕三
21．n 阶线性齐次微分方程根本解组中解的个数恰好是〔 〕个．
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〔A〕n 〔B〕n -1 〔C〕n +1 〔D〕n +2
22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差〔 〕．
〔A〕不是其对应齐次微分方程组的解 〔B〕是非齐次微分方程组的解
〔C〕是其对应齐次微分方程组的解 〔D〕是非齐次微分方程组的通解
f(x,y) dy  f (x, y)
23．如果 f (x,y) ， y 都在xoy 平面上连续，那么方程dx 的任一解的存在区间〔 〕．
〔A〕必为( ,   ) 〔B〕必为(0,  ) 〔C〕必为 (, 0) 〔D〕将因解而定
三 求以下方程的解:
1 求以下方程的通解或通积分:
(1) (2) dy  y  2 y (3) (4) 2 2
dy  y1ny  1     dy  y  xy 5 2 xydx  ( x  y ) dy  0
dx dx  x  x dx
(5)y  xy ' 2 ( y ' ) 3
2 求方程的解 (5) 1 (4)
x  t x  0
3 解方程: dy 2 并求出满足初始条件:当 x=0 时,y=2 的特解
dx  y cos x
4 求方程: dy y y
dx  x  tg x
5求方程: dy y 2的通解
dx  6 x  xy
6 求 ( 3 x 2  6 xy 2 ) dx 的通解 . ( 6 x 2 y  4 y 3 ) dy  0
7 求解方程: d 4 x d 2 x
dt 4  2 dt 2  x  0
8 求方程: d 5 x 1 d 4 x 的解
dt 5  t dt 4  0
9 求方程 y ' ' 5 y '   5 x 2 的通解
dx 1
  y 
10 求以下方程组的通解 dt sin t

dy
  x
 dt
11 求初值问题y' x  y R : x 1 1 y 1 的解的存在区间并求出第二次近似解
y(1)  0
12 求方程的通解
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(1) dy y (2) dy y y (3) ( y  3 x 2 ) dx  ( 4( 三种方法y  x ) dy)  0
 2 dx  x  tan x
dx x  y
(4)  dy  4  dy  2
 dx   5  dx   4 y  0
   
13 计算方程 y ' ' 4 y  3 sin 2的通解x
14 计算方程 d 2 x dx
dt  4 dt  4 x  cos t
15 求以下常系数线性微分方程: y ' ' 2 y ' 10 y  xe 2 x
16 试求 2 1 x的基解矩阵
x 0 2
 
17 试求矩阵 2 1 的特征值和对应的特征向量.
A 1 4
 
18 试求矩阵 3 5 的特征值和特征向量
A  5 3
 
19 解方程组 y'1  3 2 y1
y'  1 2 y 
 2 