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专题三 动能定理和能量守恒定律
第2讲 机械能、内能和电势能的转化和守恒
【核心要点突破】
知识链接
一、 机械能守恒定律
1、条件：
（1）对单个物体，只有重力或弹力做功．
（2）对某一系统,物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递, 机械能也没有转变成其它形式的能(如没有内能产生)，则系统的机械能守恒．
2、 表达式
二、 能量守恒定律
深化整合
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【典例训练1】（ 2025·安徽理综·T14）伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点。如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点。这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面（或弧线）下滑时，其末速度的大小
A．只与斜面的倾角有关
B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关
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D．只与物体的质量有关
【命题立意】本题以单摆为背景,联系到无阻力下滑问题，主要考查机械能守恒定律这一知识点。
【思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：
判断是否守恒
用机械能守恒定律解题
确定对象
【规范解答】选C. 由题意知物体在运动过程中不受阻力，满足机械能守恒的条件，设下落的高度为H，则有，只与高度有关，C正确。
【典例训练2】（ 2025·山东理综·T 22）如图所示，倾角＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为、质量为、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面），在此过程中
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A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳重力势能共减少了
C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功
D．软绳重力势能的减少小于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和
【命题立意】本题以连接体的运动为背景,结合斜面问题，主要考查功、动能定理、几种功能关系等知识点。
【思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：
做功分析
受力分析
确定对象
【规范解答】选BD. 因物块所受的细线的拉力做负功，所以物块的机械能逐渐减小，A错误；软绳重力势能共减少，B正确；物块和软绳组成的系统受重力和摩擦力作用，由动能定理可得：重力做功（包括物块和软绳）减去软绳克服摩擦力做功等于系统（包括物块和软绳）动能的增加，设物块的质量为M，即，物块重力势能的减少等于，所以C错误。对软绳有,F表示细线对软绳受到的拉力，软绳重力势能的减少等于，显然小于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和，D正确。
【高考真题探究】
1.（ 2025·福建理综·T17）如图(甲)所示，质量不计的弹簧竖立固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图(乙)所示，则
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～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
【命题立意】本题以压力传感器，测出弹簧弹力F随时间t变化的图象为背景，体现新的测量手段在物理实验中的应用，着重考查考生对图象的理解，以及小球压缩弹簧过程的力和运动的问题的分析。
【思路点拨】从图象中获知t1、t3分别是小球开始接触弹簧和离开弹簧的时刻，t2时刻是小球压缩到最低点时刻，加速度为零时小球速度最大。
【规范解答】选C。小球在未碰弹簧先作自由落体运动，碰后先作加速度减少的加速运动直到加速度为零，即重力等于弹簧的弹力时速度最大，而后作加速度增大的减速运动，上升过程恰好与下降过程相逆，在整个过程小球的动能、势能及弹簧的弹性势能总和不变，由乙图可知t1时刻小球开始接触弹簧，t2时刻小球运动到最低点，动能最小，t3时刻小球恰好离开弹簧上升，t2—t3这段时间内小球从最低点向上运动的过程中先加速到速度最大后减速运动，小球动能先增加后减少，弹簧减少的弹性势能转化为小球的动能和重力势能，故选C。
2.（ 2025·全国Ⅱ理综·T24）(15分)如图，MNP 为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相切于N，P端固定一竖直挡板。M相对于N的高度为h，，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停止在水平轨道上某处。若在MN段的摩擦可忽略不计，物块与NP段轨道间的滑动摩擦因数为，求物块停止的地方与N点距离的可能值。
【命题立意】本题以木块沿轨道下滑为情景，表面上看很简单，实际上具有多解，体现了高考对考生发散思维、综合分析能力的要求。
【思路点拨】 根据题意初位置在M点，末位置在NP段的某处，运用功能原理进行解题。注意完全弹性碰撞后木块原速反弹以及木块能否再次上升后滑下。
【规范解答】根据功能原理，在物块从开始下滑到静止的过程中，物块重力势能减小的数值与物块克服摩擦力所做功的数值相等，即 ①
设物块质量为，在水平滑道上滑行的总路程为，则
②
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③
设物块在水平轨道上停住的地方与点的距离为。若物块在与碰撞后，在到达圆弧形轨道前停止，则
④
联立①②③④式得 ⑤
此结果在时有效。若，则物块在与碰撞后，可再一次滑上圆弧形轨道，滑下后在水平轨道上停止，此时有
⑥
联立①②③⑥式得 ⑦
评分参考：①式3分，②③式各2分，④⑤⑥⑦式共8分（只要得出⑤式或⑦式，即给这8分中的6分）。
【答案】物块停止的位置距N的距离可能为或
3. （ ）.（10分）如图，ABC和ABD为两个光滑固定轨道，A、B、E在同一水平面，C、D、E在同一竖直线上，D点距水平面的高度h，C点高度为2h，一滑块从A点以初速度分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出。
（1）求滑块落到水平面时，落点与E点间的距离和.
（2）为实现＜，应满足什么条件？
【命题立意】本题考查根据机械能守恒和平抛运动规律以及用数学工具处理物理问题的能力。
机械能守恒
位移
平抛运动
【思路点拨】
【规范解答】
（1）根据机械能守恒，
根据平抛运动规律：，
,
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综合得，
（2）为实现＜，即＜，得＜
但滑块从A点以初速度分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出，要求，
所以。
4.（ 2025·北京理综·T22）（16分）如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从Ｏ点水平飞出，。已知Ｏ点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角＝37°，运动员的质量m=50kg。不计空气阻力。（取sin37°=，cos37°=；g取10m/s2）求
A点与O点的距离；
运动员离开O点时的速度大小；
运动员落到A点时的动能。
【命题立意】本题以跳台滑雪运动员为背景,体现了高考命题着眼于基本知识的特点，主要考查了平抛运动与机械能守恒定律。
【思路点拨】 解答本题的关键是对平抛运动的理解，运动员在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动； 由O点到A点机械能守恒。
【规范解答】（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，有
A点与O点的距离
（2）设运动员离开O点的速度为,运动员在水平方向做匀速直线运动，
即
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解得
（3）由机械能守恒，取A点为重力势能零点，运动员落到A点时的动能为
【答案】 （1）（2）（3）
5.（ 2025·安徽理综·T24）(20分)如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=×103V/m。一不带电的绝缘小球甲，以速度υ0沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m=×10-2kg，乙所带电荷量q=×10-5C，g取10m/s2。(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)
（1） 甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）在满足(1)的条件下。求的甲的速度υ0；
（3）若甲仍以速度υ0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围。
【命题立意】本题以带电粒子在复合场中的多种运动组合为情景，结合两物体的碰撞、物体过最高点的临界问题，突出了高考对运用数学工具处理物理问题能力、推理能力、分析综合能力的要求，主要考查动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律、平抛运动规律、匀速圆周运动规律等知识点。
【思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：
此后用平抛运动规律求解
恰好过最高点
临界速度
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此前用动能定理求解
碰撞过程用两大守恒定律求解
【规范解答】
（1）在乙恰能过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点的速度为vD，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落地到B点的距离为x，则
①
②
③
联立①②③式解得
④
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为、，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得：
⑤
⑥
联立⑥⑦式得
⑦
由动能定理得
⑧
联立①⑦⑧式得
⑨
（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为、，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得
⑩
联立⑩式得
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由和得
设乙球过D点的速度为，由动能定理得
联立⑨式得
设乙在水平轨道上的落点距B点的距离为，有
联立② 式得
评分标准：（1）问共4分，①②③④各1分；
（2）问共8分，除⑤⑥各1分外，其余各式均2分；
（3）问共8分，除⑩（11）各1分外，其余各式均2分。
【答案】（1）；（2）；（3）
【专题模拟演练】
一、 选择题
1.（ 2025·莆田模拟）“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行 “轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是：（ ）
A．动能、重力势能和机械能都逐渐减小
B．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变
C．重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变
D．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小