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北斗教研室 2025年高考试题整理
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2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．双曲线的离心率大于的充分必要条件是
A． B．
C． D．
8．如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则
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到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
第二部分（选择题 共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 。
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。
11．若等比数列满足，，则公比 ；前项和 。
12．设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 。
13．函数的值域为 。
14．向量，，，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为 。
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三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）
15．（本小题共13分）
已知函数
（1）求的最小正周期及最大值。
（2）若，且，求的值。
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16．（本小题共13分）
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。
（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。
（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
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17．（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：
（1）底面
（2）平面
（3）平面平面
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18．（本小题共13分）
已知函数
（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值。
（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。
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19．（本小题共14分）
直线（）：相交于，两点，是坐标原点
（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长。
（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。
20．（本小题共13分）
给定数列，，，。对，该数列前项的最大值记为，后项，，，的最小值记为，。
（1）设数列为，，，，写出，，的值。
（2）设，，，（）是公比大于的等比数列，且，证明，，，是等比数列。
（3）设，，，是公差大于的等差数列，且，证明，，，是等差数列。
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2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．， 10． 11．，
12． 13． 14．
三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）
15．（本小题共13分）
解：（1）
所以，最小正周期
当（），即（）时
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（2）因为
所以
因为，所以
所以，即
16．（本小题共13分）
解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，
所以概率为
（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：，，，，，，，，，，，，
其中只有一天重度污染的为，，，，共4种，
所以概率为
（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。
17．（本小题共14分）
证明：（1）因为，平面底面且平面底面
所以底面
（2）因为和分别是和的中点，所以，
而平面，平面，所以平面
（3）因为底面， 平面
所以，即
因为，，所以
而平面，平面，且
所以平面
因为，所以，所以四边形是平行四边形，
所以，而平面，平面
所以平面，同理平面，
而平面，平面且
所以平面平面， 所以平面
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又因为平面
所以平面平面
18．（本小题共13分）
解：（1）
因为曲线在点处的切线为
所以，即，解得
（2）因为
所以当时，单调递增
当时，单调递减
所以当时，取得最小值，
所以的取值范围是
19．（本小题共14分）
解：（1）线段的垂直平分线为，
因为四边形为菱形，
所以直线与椭圆的交点即为，两点
对椭圆，令得
所以
（2）方法一：当点不是的顶点时，
联立方程得
设，，
则，，