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高二数学圆锥曲线根底练习题〔一〕
一、选择题：
1．抛物线的焦点坐标为 〔 〕
A． B． C． D．
2．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，那么 〔 〕
A． B． C． D．
3．双曲线的一个焦点到渐近线距离为 〔 〕
A．6 B．5 C．4 D．3
4．△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么△ABC的周长是 〔 〕
A．2 B．6 C．4 D．12
5．椭圆，长轴在轴上. 假设焦距为，那么等于 〔 〕
A． B． C． D．
6．是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为. 设
分别为双曲线的左、右焦点. 假设，那么 〔 〕
A． 5 B．4 C．3 D．2
7．将抛物线按向量a平移，使顶点与原点重合，那么向量a的坐标是〔 〕
A． B． C． D．
8．双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且， ，那么该双曲线的方程是 〔 〕
A． B． C． D．
9．设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，那么"成等差数列"是""的 〔 〕
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件
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10．双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，那么的面积等于 〔 〕
A． B． C． D．
11．点P在抛物线上，那么点P到点Q〔2，-1〕的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 〔 〕
A．〔，-1〕 B．〔，1〕 C．〔1，2〕 D．〔1，-2〕
12．设P是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，那么以线段为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是 〔 〕
A．内切 B．外切 C．内切或外切 D．不相切
二、填空题：
13．点是抛物线上一动点，那么点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 ；
14．P是椭圆在第一象限内的点，A〔2，0〕，B〔0，1〕，O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值_________；
15．抛物线的焦点是坐标原点，那么以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ；
16．假设直线与圆没有公共点，那么满足的关系式为_______；以(m,n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有____个。
三、解答题：
17．椭圆的一个顶点为，焦点在x轴上，假设右焦点到直线的距离为3.
〔I〕求椭圆的标准方程；
〔II〕设直线：，是否存在实数m，使直线椭圆有两个不同的交点M、N，且，假设存在，求出 m的值；假设不存在，请说明理由.
18．如图，椭圆＝1〔a＞b＞0〕与过点A〔2，0〕B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率.
〔I〕求椭圆方程；
〔II〕设F、F分别为椭圆的左、右焦点，
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求证：.
19．菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．
〔Ⅰ〕当直线过点时，求直线的方程；
〔Ⅱ〕当时，求菱形面积的最大值．
20．△的面积为，.
〔I〕设，求正切值的取值范围；
〔II〕设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q〔如图〕，
，当 取得最小值时，
求此双曲线的方程。
21．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
22．抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
〔Ⅰ〕证明：抛物线在点处的切线与平行；
〔Ⅱ〕是否存在实数使，假设存在，求的值；假设不存在，说明理由．
20211126
参考答案
一、选择题
1．B.
2．，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=.
3．C.
4．C. 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=.
5．D．由题意，得 ，．，代入，有即 ．
6．A. 由课本知识，得知双曲线的渐近线方程为，或者．与的渐近线方程对应，立得正数．显然，由双曲线定义有，所以．
7．A. 将抛物线方程配方，得．画图，知道a．
8．C．显然双曲线的特征量．由得，．对于关系，两边平方，得
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，即，于是．从而双曲线的方程是．
9．A.
10．C.∵双曲线中,,
∴
∵,
∴.
作边上的高，那么.
∴
∴的面积为.
11．，容易求得当∥x轴时，P到点Q 〔2，-1〕的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小，令，得，故点Ｐ
为〔，-1〕，选Ａ.
12．C. 利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右两支时，两圆相内切、外切.
二、填空题
13． ．由于的准线是，所以点到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到=的距离之和的最小值是.
14．
15．2. 由抛物线的焦点坐标为为坐标原点得，，那么 与坐标轴的交点为，那么以这三点围成的三角形的面积为.
16．0<m2+n2<3, 2. ∵直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,∴>,解得0<m2+n2<3.
∴,即点P(m,n)在椭圆内部,故过P的直线必与椭圆有两个交点.
三、解答题
17．〔I〕依题意，设椭圆的方程为设右焦点为〔c,0〕,那么
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-----------4分
a2=b2+c2=3----------------------6分
椭圆方程为.
〔II〕设M〔x1,y1〕,N(x2,y2), 由 得4x2+6mx+3m2-3=0.
当判别式△>0 时，
---------------9分
,
故 m=2，但此时判别式,
满足条件的m不存在. ------------------12分
18．解：〔Ⅰ〕过 A、B的直线方程为 .
由题意得有惟一解.
即 有惟一解,
所以 ------------------3分
故.
因为 ,即 ， 所以
从而, 得
故所求的椭圆方程为. ------------------6分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得, 所以 .
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由 解得 , ------------------9分
因此. 从而 ,
因为, 所以. ------------------12分
19．解：〔Ⅰ〕由题意得直线的方程为．
因为四边形为菱形，所以．
于是可设直线的方程为．
由得．------------------2分
因为在椭圆上，
所以，解得．
设两点坐标分别为，那么
，，，．
所以 ． ------------------4分
所以的中点坐标为．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以，解得．
所以直线的方程为，即． -----------------7分
〔Ⅱ〕因为四边形为菱形，且，所以．
所以菱形的面积． ------------------9分
由〔Ⅰ〕可得，
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所以．
所以当时，菱形的面积取得最大值．------------------12分
20．解：〔I〕设, 那么
. ---------------3分
,
. ------------------5分
〔II〕设所求的双曲线方程为
∴，
∴.
又∵，
∴. -----------------9分
当且仅当时，最小，此时的坐标是或
，
所求方程为 ------------------12分
21．解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,、B、C分别是西、东、北观测点,那么A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020). -----------3分
设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,
故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=－x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故
|PB|－|PA|=340×4=1360. ------------------6分
x
y
O
C
P
A
A
BN
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,
依题意得a=680,c=1020,
∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,
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故双曲线方程为. -----------9分
用y=－x代入上式,得x=±680,
∵|PB|>|PA|,
∴x=-680,y=680,
即P(-680,680),
故PO=680.
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处. ------------------12分
22． x
A
y
1
1
2
M
N
B
O
解：〔Ⅰ〕如图，设，，
把代入 得， ---------------2分
由韦达定理得，，
，
点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，------------------5分
直线与抛物线相切，
，．
即． ------------------7分
〔Ⅱ〕假设存在实数，使，那么.
又是的中点，
． ------------------9分
由〔Ⅰ〕知
．
轴，
． ------------------12分
即存在，使 ------------------14分