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张家界市2023年高二第一学期期末联考
数学试题卷
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
，考生务必将自己的姓名、考生号、“条形码粘贴处”.
，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：.
，考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
1. 35是等差数列3，5，7，9，的（）
A. 第16项 B. 第17项 C. 第18项 D. 第19项
【答案】B
【解析】
【分析】首先求数列的通项公式，即可求解.
【详解】等差数列3，5，7，9，的首项为3，公差为2，
所以等差数列的通项公式为，
令，得.
所以35是等差数列3，5，7，9，的第17项.
故选：B
2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
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【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，有，又，所以.
故选：C.
3. 抛物线的焦点到直线的距离等于（）
A. 1 B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先求焦点坐标，再求点到直线的距离.
【详解】抛物线的焦点为，焦点到直线的距离为.
故选：B
4. 已知向量若与、共面，则实数（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量共面定理构造方程组即可求得结果.
【详解】由共面定理可得存在非零实数满足，
可得，解得，
故选：C
5. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（）
A. 0 B. 4 C. －2 D. 0或4
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的弦长求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径，
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设圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以，解得或.
故选：D.
6. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（ ）
A. “徵､商､羽”的频率成等比数列
B. “宫､徵､商”的频率成等比数列
C. “商､羽､角”的频率成等比数列
D. “宫､商､角”的频率成等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】依题意求出“宫､徵､商､羽､角”这5个音阶的频率，根据等比数列的定义可得答案.
【详解】设“宫”的频率为，则“徵”的频率为，“商”的频率为，“羽”的频率为，“角”的频率为，
所以“宫､商､角”的频率成等比数列,公比为.
故选：D
7. 设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.
【详解】
根据椭圆及双曲线的定义可得，
所以.
在中，，由余弦定理可得
，
整理可得，，
两边同时除以可得，.
又，，
所以有，
所以，.
因为，所以，
所以，所以，，，
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所以，.
则，
故.
故选：C.
8. 设，则（）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可比较的大小关系，即可得解.
【详解】，
令，则，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即，所以.
综上，.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，，，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线l：，则（）
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A. 直线l过点 B. 直线l的斜率为
C. 直线l的倾斜角为 D. 直线l在轴上的截距为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线方程逐项分析判断即可.
【详解】直线l：，即直线l：，
令，可得，即直线l过点，故A正确；
可知直线l的斜率为，故B错误；
设直线l的倾斜角为，可知，
所以，即直线l的倾斜角为，故C正确；
直线l在轴上的截距为1，故D正确；
故选：ACD.
10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）
A. B. 数列是等差数列
C. 当时， D. 当或4时，取得最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用的关系式可求得，即可判断AB正确，由数列单调性即可判断C错误，再由前项和的函数性质可判断D正确.
【详解】由可得，当时，，
两式相减即，
即时，
又当时，符合，
所以可得，即可得AB正确；
易知数列为递减数列，当时，，所以C错误；
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由利用二次函数性质以及可得，
当或4时，取得最大值.
故选：ABD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，则（）
A.
B. ⊥平面
C. 异面直线与所成角的大小为
D. 平面到平面的距离等于
【答案】AB
【解析】
【分析】利用三角形中位线性质可得A正确；再由线面垂直的判定定理及其性质可求得B正确；由异面直线定义可求得异面直线与所成角的大小为，即C错误；利用等体积法和正方体对称性，即可得平面到平面的距离等于，即D错误.
【详解】连接，如下图所示：
因为是的中点，由正方体性质可知是与的交点，
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又是的中点，所以是的中位线，即，可知A正确；
连接，四边形是正方形，所以，
又由正方体性质可知，，平面，
所以平面；
又，所以平面，即B正确；
由可得异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
也即是异面直线与所成的角，
连接，易得是正三角形，所以，
即异面直线与所成的角为，故C错误；
易知，由正方体性质可知，
又，平面，
所以平面；
又平面，所以，
同理可证，，平面，所以平面；
同理可证平面；
因为正方体棱长为2，所以正三角形和正三角形的边长为，可得其面积为，
设到平面的距离为，
则由等体积法可得，解得；
同理有到平面的距离也为，
又易知，所以平面到平面的距离等于，即D错误；
故选：AB
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12. 已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（）
A. 若，则的面积为
B. 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则
C. 若的斜率的范围为，则的斜率的范围为
D. 存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：利用余弦定理及双曲线的定义求出，进而可得三角形的面积；对于B：设，与直线联立，发现均与无关，进一步分析可得；对于C：求出为定值，进而可得的斜率的范围；对于D：将直线方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果.
【详解】在双曲线中，
对于A：在双曲线的焦点三角形中，
，可得
所以，故A正确；
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对于B，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线.
设直线，其与的交点为
联立，可得，
应满足且.
由韦达定理可知，都与无关.
所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为.
由可知，故B正确；
对于C，设，且，
，
所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，C正确；
对于D，联立，消去可得，，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，且，则_______.
【答案】2
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示列出式子直接得出答案.
【详解】，，且，