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大庆市2024届高三第三次教学质量检测
数学
注意事项：
，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
，超出答题区域书写的答案无效.
，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
，则（ ）
A. B. C. D.
，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B.
C. D.
，若，则（ ）
，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是（ ）
，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
，分别标有数字，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，“为偶数”，事件“
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中有偶数且”，则（ ）
A. B. C. D.
，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
，过向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
C.
，则下列说法正确的是（ ）
A.
，则的最大值为
，该三棱锥外接球的表面积为
，函数的图象与直线相交，是相邻的三个交点，红，则下列说法正确的是（ ）
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A.
，则
，函数在上单调递减，则
，则的一个可能取值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
：的展开式中，含项的系数是__________.
，，若边上的两条中线相交于点，则__________；__________.
，，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到：一直继续下去，得到，，则前6项的和是__________.
四､解答题：本题共5小题，､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知，函数，且.
（1）求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
16.（本小题满分15分）
面试是求职者进入职场的一个重要关口，，首先要进行笔试，，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分.
（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标.
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现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数.（结果四舍五入保留整数）
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望.
附：若，则，
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，，，且是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为.
①求直线的斜率：
②求面积的最大值.
19.（本小题满分17分）
法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且.
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（1）求；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求实数的最小值.
大庆市高三年级第三次教学质量检测
数学答案及评分标准
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
C
D
B
D
A
【解析】
因为，：B.
【解析】
因为复数对应的点的坐标是，所以，：D.
【解析】
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设等差数列的公差为，由，得，解得，所以
.故选：A.
【解析】
因为，由图可知8次成绩由小到大排序，第7个位置的数是110，：C.
【解析】
函数的图象如下，，所以，：D.
【解析】
由已知
：B.
【解析】
已知函数有2个零点，所以方程有两个根，即函数与的图象有两个公共点.
（1）当时，.若直线与曲线相切，设切点坐标为，，所以，解得，即.
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（2）当时，.若直线与曲线相切，设切点坐标为，，所以，解得，即.
综上，结合函数与函数的图象及增长速度可知，：D.
【解析】
法一：由题可知，所以，解得.
由得，整理得，
：A.
法二：由题可知，由已知得，解得.
记中点为，因为，所以.
在和中，由得，解得，
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：A.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，，，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【解析】
题号
9
10
11
答案
ABD
BCD
AD
因为双曲线的方程为，所以，.
.
.
如图，因为，，，
，所以，所以
，故D正确.
故选：ABD.
【解析】
如图（1），当点与重合时，.
如图（2），易证平面平面，.
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如图（3），因为，，所以，所以，当点与（或重合时最大，此时最大，.
如图（3），因为，所以当点与重合时三棱锥体积最大，，则，所以，.
故选：BCD.
【解析】
设，则，所以，
所以，，所以
，所以，.
当时，
，
（其中）.因为时有最大值，所以，.
法一：当时，是单调递减函数，，所以
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，，.
法二：因为，，，所以，.
因为，所以的一条对称轴方程是，所以时，：AD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.（13小题第1问2分，第2问3分）
； 13.； .
12. 【解析】
在的展开式中，.令得，所以含项的系数是.
13. 【解析】
法一：在中，由余弦定理得，所以.
因为，所以，建立平面直角坐标系，如图，则
，所以，