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和一种矢量可在不一样坐标系中表达相似，同一种量子 态或者同一种算符也可以在不一样表象中表达。在高等数学中，这些不一样坐标系的表达可通过同一种坐标变换把它们联络起来。在量子力学中，这些态或算符的不一样表达也可以用表象变换把它们联络起来。并且，物理规律应当具有协变性：即物理规律与所选择的用以描述它们的坐标系无关。同样，在量子力学中算符的本征值也应与所选用的表象无关，由于本征值就是在对应的本征态中观测算符所对应的力学量时的观测值，是试验测量所得到的值。
设算符 的正交归一本征函数系为 ，算符 的正交归一本征函数系为 ，则算符 在 表象中的矩阵元为：
（）
幺正变换
（）
在 表象中的矩阵元为：
（）
（）
为找出 表象和 表象之间的关系，将 表象中的本征函数 及 按 表象的本征函数系展开
（）
其中
（）
幺正变换
（）
（）
写成矩阵形式
幺正变换
（）
（）
或简写为
以 为矩阵元的矩阵 称为变换矩阵。这个矩阵把 表象的基矢 变换为 表象的基矢 。
（）
下面我们讨论变换矩阵 一个基本性质：
幺正变换
是单位矩阵。
（）
或写成
由
（）
（）
再将 按 展开
将（）式代入（）式得
幺正变换
即
（）
（）
满足上式得矩阵称为幺正矩阵。由幺正矩阵所示的变换称为幺正变换。因此，从一种表象到另一种表象的变换为幺正变换.
利用（） 和（），我们得出结论：两个表象之间的变换矩阵 满足
（）
幺正变换
目前我们讨论幺正变换下算符、波函数和本征值的变化。
算符的变换
在 表象中，算符 的矩阵元是 ，在 表象中，算符 的矩阵元是 ，它们两者之间的关系是
（）
上式写成矩阵形式是
或
（）
（）
幺正变换
波函数的变换
（）
考察波函数 从 表象到 表象的变化。将 分别按 表象和 表象的本征函数系 及 展开：
（）
在 表象和 表象的表示分别为两个列矩阵：
（）
幺正变换
（）
利用（）、 （） 、 （）和本征函数系 的正交归一性，得
上式写成矩阵形式
或
（）
（）
幺正变换
幺正变换不变化算符的本征值
设 在 表象中的本征值方程为
（）
为相应的本征值。作表象变换，使得从 表象经过一个幺正变换 换到 表象，由于 ， 因此在 表象中，算符 相应的矩阵 满足
（）
所以，表象变换不改变算符 的本征值。
运用这个性质，又找到了另一种求算符本征值的措施。前面曾证实，算符在自身表象中对应对角矩阵，并且