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2025 年中考数学冲刺满分计划压轴集训测试三
一、选择题
1. 如图,在𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴𝐶𝐵 = 90°,𝐴𝐶 = 3,𝐵𝐶 = 4,在 △ 𝐷𝐸𝐹中,𝐷𝐸 = 𝐷𝐹 = 5,𝐸𝐹 = 8,
𝐵𝐶与𝐸𝐹在同一条直线上,点C 与点 E 重合. △ 𝐴𝐵𝐶以每秒 1 个单位长度的速度沿线段𝐸𝐹所在直线
向右匀速运动,当点B 运动到点 F 时, △ 𝐴𝐵𝐶停止运动.设运动时间为 t 秒, △ 𝐴𝐵𝐶与 △ 𝐷𝐸𝐹重叠
部分的面积为S,则下列图象能大致反映 S 与 t 之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图,四边形 ABCD 是矩形,𝐴𝐵 = 10,𝐴𝐷 = 4 2,点 P 是边 AD 上一点(不与点 A,D 重合),
连接PB,PC,点 M,N 分别是 PB,PC 的中点,连接 MN,AM,DN,点 E 在边 AD 上,
𝑀𝐸//𝐷𝑁,则𝐴𝑀 + 𝑀𝐸的最小值是( )
A. 2 3 B.3 C. 3 2 D. 4 2
二、填空题
3. 如图,四边形 ABCD 是矩形,𝐴𝐵 = 6,𝐵𝐶 = 6,点 E 为边 BC 的中点,点 F 为边 AD 上一点,
将四边形ABEF 沿 EF 折叠,点 A 的对应点为点𝐴',点 B 的对应点为点𝐵',过点𝐵'作𝐵'𝐻 ⊥ 𝐵𝐶于点
H,若 𝐵'𝐻 = 2 2,则 FD 的长是 .
1 / 13 : .
4. 如图,在𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴𝐶𝐵 = 90°,∠𝐴𝐵𝐶 = 30°,𝐴𝐶 = 1,点 D 为𝐴𝐵边上一点(不与 A,B 重
合),点E 为𝐵𝐶的中点,将 △ 𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸翻折,得到 △ 𝐷𝐸𝐹,连接𝐵𝐹,当以点 D,E,B ,F 为顶点
的四边形为平行四边形时,𝐴𝐷的长为 .
5. 如图,E 是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷边 BC 上一点,∠𝐴𝐵𝐶 = 120°,把𝐴𝐸绕点 E 顺时针旋转 120°得到
𝐹𝐸、𝐴𝐹交𝐶𝐷于点G, 𝐵𝐸 = 1,𝐸𝐶 = 2,则𝐷𝐺 = .
三、证明题
𝑐
𝑦 = − (𝑥 , 𝑦 ) (𝑥 , 𝑦 )
6. 定义:若一次函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏和反比例函数 𝑥交于两点 1 1 和 2 2 ,满足
𝑥 = 𝑘𝑦 (𝑥 < 𝑥 ) 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑘
2 1 1 2 ,则称 为一次函数和反比例函数的“ 属合成”函数.
2 / 13 : .
3
𝑦 =
(1)试判断一次函数 𝑦 = 𝑥−2与 𝑥是否存在“ 𝑘属合成”函数?若存在,求出 𝑘的值及“ 𝑘属合成”
函数;若不存在,请说明理由;
4
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏(𝑏 > 0) 𝑦2 =
(2)已知一次函数 1 与反比例函数 𝑥交于𝐴, 𝐵两点,它们的“ −𝑎属合成”函数
为𝑦3,若点𝐴在直线𝑦 = −𝑎𝑥 + 5上,求𝑦3的解析式;
3
𝑦 = −
(3)如图,若 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏与 2𝑥的“2 属合成”函数的图象与 𝑥轴交于𝑀, 𝑁两点(𝑀在𝑁点左侧),
它的顶点为𝐷(1, 𝑦0),𝑃为第三象限的抛物线上一动点,𝑁𝑃与𝑦轴交于点𝐸,将线段𝐷𝐸绕点𝐷逆时针旋
转90°得到线段𝐷𝐹,射线𝑀𝐸与射线𝐹𝑁交于点𝐺,连接𝑀𝑃,若∠𝑀𝐺𝑁 = 2∠𝑀𝑃𝑁,求点𝑃的坐标.
四、实践探究题
7. (1) 【问题初探】
在数学活动课上,赵老师给出如下问题:如图 1, △ 𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形,𝐶𝐴 = 𝐶𝐵,
∠𝐴𝐶𝐵 = 90° 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 2𝐶𝐷2
,点D 在 上,连接 .求证: .
①如图 2,小明同学从结论出发给出如下的解题思路:过点 C 作𝐶𝐸 ⊥ 𝐴𝐵,垂足为 E,在
𝑅𝑡 △ 𝐶𝐷𝐸 2𝐶𝐸2 + 2𝐷𝐸2 = 2𝐶𝐷2 𝐷𝐸 = 𝐴𝐸−𝐴𝐷 𝐷𝐸 = 𝐵𝐷−𝐵𝐸 𝐴𝐸 = 𝐵𝐸 = 𝐶𝐸
中, ,依据 , , 进行等量变
换得出结论.
②如图 3,小亮同学从条件出发给出如下的解题思路:过点 C 作𝐶𝐹 ⊥ 𝐶𝐷,且𝐶𝐹 = 𝐶𝐷,连接𝐵𝐹,
𝐷𝐹 △ 𝐴𝐶𝐷≌ △ 𝐵𝐶𝐹 𝐴𝐷 = 𝐵𝐹 ∠𝐶𝐵𝐸 = ∠𝐴 = 45° 𝑅𝑡 △ 𝐵𝐷𝐹 𝐵𝐹2 + 𝐵𝐷2 = 𝐷𝐹2
,依据 ,得到 , ,在 中, ,
由𝐷𝐹 = 2𝐶𝐷得出结论.
请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程;
(2) 【类比分析】
小红同学在深刻感悟前面两名同学的解题思路的基础上发现,当点 D 在如图 4 的位置时(1)中
的结论还成立,请你写出证明过程;
(3) 【学以致用】
3 / 13 : .
赵老师在此基础上提出问题:若(1)中的点 D 在直线𝐴𝐵上,当𝐵𝐷 = 3𝐴𝐷时,画出草图并求出
∠𝐶𝐷𝐵的度数.
8. 【问题初探】
(1)如图 1,在 △ 𝐴𝐵𝐶中∠𝐴𝐶𝐵 = 90°,𝐴𝐶 = 𝐵𝐶,点 E 在𝐵𝐶上(且不与点 B,C 重合),在
△ 𝐴𝐵𝐶的外部作△ 𝐵𝐸𝐷,使∠𝐵𝐸𝐷 = 90°,𝐵𝐸 = 𝐷𝐸,连接𝐶𝐷,过点A 作𝐴𝐹 ∥ 𝐶𝐷,过点 D 作
𝐷𝐹 ∥ 𝐴𝐶,DF 交𝐴𝐹于点 F,连接𝐶𝐹.根据以上操作,判断:四边形𝐴𝐶𝐷𝐹的形状是
𝐶𝐹
=
_____, 𝐸𝐹 _____.
【变换探究】
(2)如图 2,将图 1 中的 △ 𝐵𝐸𝐷绕点 B 逆时针旋转,使点 E 落在𝐴𝐵边上,过点 A 作𝐴𝐹 ∥ 𝐶𝐷,
过点D 作𝐷𝐹 ∥ 𝐴𝐶,𝐷𝐹交𝐴𝐹于点 F,连接𝐶𝐸,𝐶𝐹,若𝐶𝐸 = 4,求𝐶𝐹的长.
勤奋小组通过第(1)问的解题经验,尝试连接 𝐸𝐹,猜想 △ 𝐶𝐸𝐹为特殊的三角形;
创思小组在勤奋小组的提示下,成功的证明出一对三角形全等,进而求得𝐶𝐹的长度.
请结合两个小组的解题思路,写出解题过程.
【迁移拓展】
(3)博文小组在第(2)问的基础上进行了如下创新,将图 1 中的 △ 𝐵𝐸𝐷绕点 B 顺时针旋转,使
点D 在𝐵𝐶的右侧,过点 A 作𝐴𝐹 ∥ 𝐶𝐷过点 D 作𝐷𝐹 ∥ 𝐴𝐶,𝐷𝐹交𝐴𝐹于点 F,连接 𝐶𝐹,并尝试连接𝐶𝐸,
𝐸𝐹.
他们发现:若𝐵𝐸 = 2,𝐵𝐶 = 6,当四边形𝐴𝐶𝐷𝐹为菱形时.可求得𝐶𝐹的长度.请完成以下问题:
①求 𝐶𝐹的长;
②当点 D 在𝐵𝐶左侧时,请直接写出𝐶𝐹的长.
五、综合题
4 / 13 : .
9. 如图,已知点 D 是 △ 𝐴𝐵𝐶外接圆 ⊙ 𝑂上的一点,𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷于 G,连接 AD,过点 B 作直线
𝐵𝐹//𝐴𝐷交AC 于 E,交 ⊙ 𝑂于 F,若点 F 是弧 CD 的中点,连接 OG,OD,CD .
(1)求证: ∠𝐷𝐵𝐹 = ∠𝐴𝐶𝐵;
6
𝐴𝐺 = 𝐺𝐸
(2)若 2 ,试探究∠𝐺𝑂𝐷与∠𝐴𝐷𝐶之间的数量关系,并证明.
10. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,点 D 位于⊙O 外一点,连接 AD,BD,CD,BD 交⊙ O 于点
E,连接 AB=AC=AD.
(1)如图 1,求证:∠ACE=∠ADE.
(2)如图 2,BD 经过圆心 O,AB=2CD.
①求 cos∠BAC 的值;
②若 AB=3,求⊙O 的半径,
5 / 13 : .
答案解析部分
1. 【答案】A
2. 【答案】C
3. 【答案】3 + 3
1 3
2−
4. 【答案】2或 2
6
5. 【答案】5
𝑦 = 𝑥−2
3
{ 𝑦 =
6. 【答案】(1)解:根据“ 𝑘属合成”函数的定义,联立方程组得 𝑥 ,
𝑥 = −1 𝑥 = 3
{𝑦 = −3 {𝑦 = 1
解得 ,或 ,
∴两函数图象的交点为(−1,−3)和(3, 1),
∵−1 < 3,
∴3 = −3𝑘,
∴𝑘 = −1,
∴它们存在“ −1属合成”函数,
∵𝑎 = 1,𝑏 = −2,𝑐 = −3,
𝑘 𝑦 = 𝑥2−2𝑥−3
∴“ 属合成”函数解析式为 .
4
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏(𝑏 > 0) 𝑦2 = 𝐴 𝑥 ,𝑦 ,𝐵 𝑥 ,𝑦 𝑥 < 𝑥
(2)解:设一次函数 1 与反比例函数 𝑥的两个交点为 ( 1 1) ( 2 2)( 1 2),
4
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥 𝑥 2
∴ 𝑥的解为1和2,即𝑎𝑥 + 𝑏𝑥−4 = 0,
4
𝑥1𝑥2 = −
∴ 𝑎,
∵𝑦1, 𝑦2存在“ −𝑎属合成”函数为 𝑦3,
4
𝑥2 = −𝑎 ×
∴ 𝑥1,即𝑥1𝑥2 = −4𝑎,
4
− = −4𝑎
∴𝑎 ,
∴𝑎 =± 1.
①当 𝑎 = 1时,
𝑦 = −𝑥 + 5
4
{ 𝑦 =
联立 𝑥 ,
𝑥 = 1 𝑥 = 4
{𝑦 = 4或或{𝑦 = 1
解得 ,
6 / 13 : .
∴𝐴(1, 4)或𝐴(4, 1),
把点𝐴代入𝑦1解得𝑏 = 3或𝑏 = −3(舍),
𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥−4
∴3 ;
②当 𝑎 = −1时,
𝑦 = 𝑥 + 5
4
{ 𝑦 =
联立 𝑥 ,
−5− 41 −5 + 41
𝑥 = 𝑥 =
2 2
5− 41 5 + 41
{𝑦 = {𝑦 =
解得 2 或 2 ,
−5− 41 5− 41 −5 + 41 5 + 41
𝐴( , )或𝐴( , )
∴ 2 2 2 2 ,
把点𝐴代入𝑦1,解得𝑏 = 41或𝑏 = − 41(舍),
𝑦 = −𝑥2 + 41𝑥−4
∴3 ,
𝑦 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥−4 𝑦 = −𝑥2 + 41𝑥−4
综上可得,3的解析式为3 或3 .
3
𝑦 = −
(3)解:∵ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏与 2𝑥存在“2 属合成”函数,
3
𝑎𝑥 + 𝑏 = − 2
∴根据(2)的计算可得 2𝑥,则2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 + 3 = 0,
设其两个根为𝑥1,𝑥2,
3
𝑥1𝑥2 =
∴ 2𝑎,
3
𝑥2 = 2 × (− )
∴ 2𝑥1 ,则𝑥1𝑥2 = −3,
1
𝑎 = −
∴ 2,
1 2 3