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2025 年中考数学冲刺满分计划压轴集训测试三
一、选择题
1． 如图，在𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，𝐴𝐶 = 3，𝐵𝐶 = 4，在 △ 𝐷𝐸𝐹中，𝐷𝐸 = 𝐷𝐹 = 5，𝐸𝐹 = 8，
𝐵𝐶与𝐸𝐹在同一条直线上，点C 与点 E 重合． △ 𝐴𝐵𝐶以每秒 1 个单位长度的速度沿线段𝐸𝐹所在直线
向右匀速运动，当点B 运动到点 F 时， △ 𝐴𝐵𝐶停止运动．设运动时间为 t 秒， △ 𝐴𝐵𝐶与 △ 𝐷𝐸𝐹重叠
部分的面积为S，则下列图象能大致反映 S 与 t 之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 如图，四边形 ABCD 是矩形，𝐴𝐵 = 10，𝐴𝐷 = 4 2，点 P 是边 AD 上一点(不与点 A，D 重合)，
连接PB，PC，点 M，N 分别是 PB，PC 的中点，连接 MN，AM，DN，点 E 在边 AD 上，
𝑀𝐸//𝐷𝑁，则𝐴𝑀 + 𝑀𝐸的最小值是（ ）
A． 2 3 B．3 C． 3 2 D． 4 2
二、填空题
3． 如图，四边形 ABCD 是矩形，𝐴𝐵 = 6，𝐵𝐶 = 6，点 E 为边 BC 的中点，点 F 为边 AD 上一点，
将四边形ABEF 沿 EF 折叠，点 A 的对应点为点𝐴'，点 B 的对应点为点𝐵'，过点𝐵'作𝐵'𝐻 ⊥ 𝐵𝐶于点
H，若 𝐵'𝐻 = 2 2，则 FD 的长是 .
1 / 13 : .
4． 如图，在𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，∠𝐴𝐵𝐶 = 30°，𝐴𝐶 = 1，点 D 为𝐴𝐵边上一点（不与 A，B 重
合），点E 为𝐵𝐶的中点，将 △ 𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸翻折，得到 △ 𝐷𝐸𝐹，连接𝐵𝐹，当以点 D，E，B ，F 为顶点
的四边形为平行四边形时，𝐴𝐷的长为 ．
5． 如图，E 是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷边 BC 上一点，∠𝐴𝐵𝐶 = 120°，把𝐴𝐸绕点 E 顺时针旋转 120°得到
𝐹𝐸、𝐴𝐹交𝐶𝐷于点G， 𝐵𝐸 = 1，𝐸𝐶 = 2，则𝐷𝐺 = ．
三、证明题
𝑐
𝑦 = − (𝑥 , 𝑦 ) (𝑥 , 𝑦 )
6． 定义：若一次函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏和反比例函数 𝑥交于两点 1 1 和 2 2 ，满足
𝑥 = 𝑘𝑦 (𝑥 < 𝑥 ) 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑘
2 1 1 2 ，则称 为一次函数和反比例函数的“ 属合成”函数．
2 / 13 : .
3
𝑦 =
（1）试判断一次函数 𝑦 = 𝑥−2与 𝑥是否存在“ 𝑘属合成”函数？若存在，求出 𝑘的值及“ 𝑘属合成”
函数；若不存在，请说明理由；
4
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏(𝑏 > 0) 𝑦2 =
（2）已知一次函数 1 与反比例函数 𝑥交于𝐴, 𝐵两点，它们的“ −𝑎属合成”函数
为𝑦3，若点𝐴在直线𝑦 = −𝑎𝑥 + 5上，求𝑦3的解析式；
3
𝑦 = −
（3）如图，若 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏与 2𝑥的“2 属合成”函数的图象与 𝑥轴交于𝑀, 𝑁两点（𝑀在𝑁点左侧），
它的顶点为𝐷(1, 𝑦0)，𝑃为第三象限的抛物线上一动点，𝑁𝑃与𝑦轴交于点𝐸，将线段𝐷𝐸绕点𝐷逆时针旋
转90°得到线段𝐷𝐹，射线𝑀𝐸与射线𝐹𝑁交于点𝐺，连接𝑀𝑃，若∠𝑀𝐺𝑁 = 2∠𝑀𝑃𝑁，求点𝑃的坐标．
四、实践探究题
7． （1） 【问题初探】
在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图 1， △ 𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐶𝐴 = 𝐶𝐵，
∠𝐴𝐶𝐵 = 90° 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 2𝐶𝐷2
，点D 在 上，连接 ．求证： ．
①如图 2，小明同学从结论出发给出如下的解题思路：过点 C 作𝐶𝐸 ⊥ 𝐴𝐵，垂足为 E，在
𝑅𝑡 △ 𝐶𝐷𝐸 2𝐶𝐸2 + 2𝐷𝐸2 = 2𝐶𝐷2 𝐷𝐸 = 𝐴𝐸−𝐴𝐷 𝐷𝐸 = 𝐵𝐷−𝐵𝐸 𝐴𝐸 = 𝐵𝐸 = 𝐶𝐸
中， ，依据 ， ， 进行等量变
换得出结论．
②如图 3，小亮同学从条件出发给出如下的解题思路：过点 C 作𝐶𝐹 ⊥ 𝐶𝐷，且𝐶𝐹 = 𝐶𝐷，连接𝐵𝐹，
𝐷𝐹 △ 𝐴𝐶𝐷≌ △ 𝐵𝐶𝐹 𝐴𝐷 = 𝐵𝐹 ∠𝐶𝐵𝐸 = ∠𝐴 = 45° 𝑅𝑡 △ 𝐵𝐷𝐹 𝐵𝐹2 + 𝐵𝐷2 = 𝐷𝐹2
，依据 ，得到 ， ，在 中， ，
由𝐷𝐹 = 2𝐶𝐷得出结论．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2） 【类比分析】
小红同学在深刻感悟前面两名同学的解题思路的基础上发现，当点 D 在如图 4 的位置时（1）中
的结论还成立，请你写出证明过程；
（3） 【学以致用】
3 / 13 : .
赵老师在此基础上提出问题：若（1）中的点 D 在直线𝐴𝐵上，当𝐵𝐷 = 3𝐴𝐷时，画出草图并求出
∠𝐶𝐷𝐵的度数．
8． 【问题初探】
（1）如图 1，在 △ 𝐴𝐵𝐶中∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶，点 E 在𝐵𝐶上（且不与点 B，C 重合），在
△ 𝐴𝐵𝐶的外部作△ 𝐵𝐸𝐷，使∠𝐵𝐸𝐷 = 90°，𝐵𝐸 = 𝐷𝐸，连接𝐶𝐷，过点A 作𝐴𝐹 ∥ 𝐶𝐷，过点 D 作
𝐷𝐹 ∥ 𝐴𝐶，DF 交𝐴𝐹于点 F，连接𝐶𝐹．根据以上操作，判断：四边形𝐴𝐶𝐷𝐹的形状是
𝐶𝐹
=
_____， 𝐸𝐹 _____．
【变换探究】
（2）如图 2，将图 1 中的 △ 𝐵𝐸𝐷绕点 B 逆时针旋转，使点 E 落在𝐴𝐵边上，过点 A 作𝐴𝐹 ∥ 𝐶𝐷，
过点D 作𝐷𝐹 ∥ 𝐴𝐶，𝐷𝐹交𝐴𝐹于点 F，连接𝐶𝐸，𝐶𝐹，若𝐶𝐸 = 4，求𝐶𝐹的长．
勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接 𝐸𝐹，猜想 △ 𝐶𝐸𝐹为特殊的三角形；
创思小组在勤奋小组的提示下，成功的证明出一对三角形全等，进而求得𝐶𝐹的长度．
请结合两个小组的解题思路，写出解题过程．
【迁移拓展】
（3）博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图 1 中的 △ 𝐵𝐸𝐷绕点 B 顺时针旋转，使
点D 在𝐵𝐶的右侧，过点 A 作𝐴𝐹 ∥ 𝐶𝐷过点 D 作𝐷𝐹 ∥ 𝐴𝐶，𝐷𝐹交𝐴𝐹于点 F，连接 𝐶𝐹，并尝试连接𝐶𝐸，
𝐸𝐹．
他们发现：若𝐵𝐸 = 2，𝐵𝐶 = 6，当四边形𝐴𝐶𝐷𝐹为菱形时．可求得𝐶𝐹的长度．请完成以下问题：
①求 𝐶𝐹的长；
②当点 D 在𝐵𝐶左侧时，请直接写出𝐶𝐹的长．
五、综合题
4 / 13 : .
9． 如图，已知点 D 是 △ 𝐴𝐵𝐶外接圆 ⊙ 𝑂上的一点，𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷于 G，连接 AD，过点 B 作直线
𝐵𝐹//𝐴𝐷交AC 于 E，交 ⊙ 𝑂于 F，若点 F 是弧 CD 的中点，连接 OG，OD，CD ．
（1）求证： ∠𝐷𝐵𝐹 = ∠𝐴𝐶𝐵；
6
𝐴𝐺 = 𝐺𝐸
（2）若 2 ，试探究∠𝐺𝑂𝐷与∠𝐴𝐷𝐶之间的数量关系，并证明．
10． 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 D 位于⊙O 外一点，连接 AD，BD，CD，BD 交⊙ O 于点
E，连接 AB=AC=AD.
（1）如图 1，求证：∠ACE=∠ADE.
（2）如图 2，BD 经过圆心 O，AB=2CD.
①求 cos∠BAC 的值；
②若 AB=3，求⊙O 的半径，
5 / 13 : .
答案解析部分
1． 【答案】A
2． 【答案】C
3． 【答案】3 + 3
1 3
2−
4． 【答案】2或 2
6
5． 【答案】5
𝑦 = 𝑥−2
3
{ 𝑦 =
6． 【答案】（1）解：根据“ 𝑘属合成”函数的定义，联立方程组得 𝑥 ，
𝑥 = −1 𝑥 = 3
{𝑦 = −3 {𝑦 = 1
解得 ，或 ，
∴两函数图象的交点为(−1,−3)和(3, 1)，
∵−1 < 3，
∴3 = −3𝑘，
∴𝑘 = −1，
∴它们存在“ −1属合成”函数，
∵𝑎 = 1,𝑏 = −2,𝑐 = −3，
𝑘 𝑦 = 𝑥2−2𝑥−3
∴“ 属合成”函数解析式为 ．
4
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏(𝑏 > 0) 𝑦2 = 𝐴 𝑥 ,𝑦 ,𝐵 𝑥 ,𝑦 𝑥 < 𝑥
（2）解：设一次函数 1 与反比例函数 𝑥的两个交点为 ( 1 1) ( 2 2)( 1 2)，
4
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥 𝑥 2
∴ 𝑥的解为1和2，即𝑎𝑥 + 𝑏𝑥−4 = 0，
4
𝑥1𝑥2 = −
∴ 𝑎，
∵𝑦1, 𝑦2存在“ −𝑎属合成”函数为 𝑦3，
4
𝑥2 = −𝑎 ×
∴ 𝑥1，即𝑥1𝑥2 = −4𝑎，
4
− = −4𝑎
∴𝑎 ，
∴𝑎 =± 1．
①当 𝑎 = 1时，
𝑦 = −𝑥 + 5
4
{ 𝑦 =
联立 𝑥 ，
𝑥 = 1 𝑥 = 4
{𝑦 = 4或或{𝑦 = 1
解得 ，
6 / 13 : .
∴𝐴(1, 4)或𝐴(4, 1)，
把点𝐴代入𝑦1解得𝑏 = 3或𝑏 = −3（舍），
𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥−4
∴3 ；
②当 𝑎 = −1时，
𝑦 = 𝑥 + 5
4
{ 𝑦 =
联立 𝑥 ，
−5− 41 −5 + 41
𝑥 = 𝑥 =
2 2
5− 41 5 + 41
{𝑦 = {𝑦 =
解得 2 或 2 ，
−5− 41 5− 41 −5 + 41 5 + 41
𝐴( , )或𝐴( , )
∴ 2 2 2 2 ，
把点𝐴代入𝑦1，解得𝑏 = 41或𝑏 = − 41（舍），
𝑦 = −𝑥2 + 41𝑥−4
∴3 ，
𝑦 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥−4 𝑦 = −𝑥2 + 41𝑥−4
综上可得，3的解析式为3 或3 ．
3
𝑦 = −
（3）解：∵ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏与 2𝑥存在“2 属合成”函数，
3
𝑎𝑥 + 𝑏 = − 2
∴根据（2）的计算可得 2𝑥，则2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 + 3 = 0，
设其两个根为𝑥1,𝑥2，
3
𝑥1𝑥2 =
∴ 2𝑎，
3
𝑥2 = 2 × (− )
∴ 2𝑥1 ，则𝑥1𝑥2 = −3，
1
𝑎 = −
∴ 2，
1 2 3