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九年级数学试卷
考生注意：本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分为150分，考试时间为120分钟．
第I卷（选择题，共36分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．的相反数是（）
A． B．5 C． D．
2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
3．（m）的颗粒物，也被称为可人肺颗粒物，它们含有一定量的有毒有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．用科学记数法可表示为（）
A．m B．m C．m D．m
4．点与点关于坐标原点对称，则（）
A．1 B． C． D．2025
5．如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的主视图是（）
A． B． C． D．
6．若在实数范围内有意义，则满足的条件为（）
A． B． C．且 D．
7．假如鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为（）
A． B． C． D．
8．如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（）
A．50° B．40° C．115° D．65°
9．如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为45°，点的俯角为58°，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为6m，则甲建筑物的高度为（）
（，，，结果保留整数）
A．14 m B．15 m C．16 m D．17 m
10．若关于的方程与有一个解相同，则的值为（）
A．6 B． C．6或 D．或2
11．如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（）
A．4 B．42 C． D．
12．已知点是边长为6的等边的中心，点在外，，，．的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是（）.
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共114分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．在实数范围内分解因式：______________.
14．如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交直线于点．若，则的度数是______________.
15．若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______________.
16．如图，一个纸杯杯口直径为6cm，杯底直径为4cm，，长为8cm，则纸杯的表面积为_______________cm2（结果保留）
17．如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，分别与，交于点，．若的面积为1，则平行四边形的面积为________________.
18．如图，在中，，，．是平面内任意一点，，，，分别为线段，，，的中点．当四边形为菱形时，点到直线的最大距离是_____________．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
（1）计算：.
（2）先化简，再求值：，其中，满足.
20．（本题满分12分）
某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间/时
组中值
1
2
3
4
5
人数
21
30
19
18
12
（1）画扇形图描述数据时，这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数；
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．
21．（本题满分12分）
如图，一次函数的图象经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于第二、四象限内的，两点，且，求的值．
22．（本题满分12分）
为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低?最低总费用是多少？
23．（本题满分12分）
如图，点为上一点，点在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点，且．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，
①求的半径；
②求的长．
24．（本题满分12分）
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求点，，的坐标．
（2）点是此抛物线上的点，点是此抛物线对称轴上的点，求以，，，为顶点的平行四边形的面积．
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本题满分14分）
某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中．，，垂足为．
图1 图2 图3
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
，
，
①_________
，
②__________
请完成填空：①_______________．②_______________.
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由；
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
参考答案
一、选择题
1-5 CCCBA 6-10 CBDCB 11-12 DB
二、填空题
13． 14．80° 15． 16．
17．24 18．
三、解答题
19．（1） （2）
20．解：（1），.
（2）平均数（时）.
答：由样本估计总体可知，.
（3）以下两种方案任选一种即可.
①从平均数看，标准可以定为3小时.
理由：，，把标准定为3小时，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标.
②从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时.
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数在范围内，把标准定为2小时，至少有49%的学生目前能达标，同时至少有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性。
21．（1） （2）
22．（1）男式单车单价为2000元，女式单车单价为1500元.
（2）共有四种购置方案，其中购置男式单车13辆，女式单车9辆，总费用最低，最低总费用是39500元.
23．解：（1）是的切线，理由如下：
如图，连接，，，，.
是的切线，是的半径，，，
，，.
又是的半径，是的切线.
（2）①设，则.
，，即，解得，的半径为2.
②在中，.
是的直径，，.，.
，.
，，.
设，则，，，
（负根已舍去），.
24．（1），，.
（2）当，，，四点是以为对角线，构成平行四边形时，；
当，，，四点是以为边，构成平行四边形和平行四边形时，.
（3）.
25．解：（1），，
，，，.
，，，.
（2）是直角三角形，理由如下：，，
，，，
由（1）得，，.
，，，是直角三角形.
（3），，，
，，
如图，以点为圆心，2为半径作，则，两点都在上，
延长到点，使，交于点，连接，则，
为的直径，，
，.
，，
，
点在过点且与垂直的直线上运动.
过点作，垂足为，连接，
垂线段最短，当点在点处时，最小，即的最小值为的长.
，四边形是矩形，，
在中，，
即当线段的长度取得最小值时，线段的长为.