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核心素养测评六十 用样本估计总体
(30分钟 60分)
一、选择题(每题5分,共25分)
,所得分数的茎叶图如下图,那么此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为 ( )
【解析】,最低为56分,所以极差为98-56=42,从小到大排列,中间两数为76,76,所以中位数为76,所以此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为42+76=118.
(单位:小时),制成了如下图的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[,30],样本数据分组为[,20),[20,),[,25),[25,),[,30].根据直方图, ( )
【解析】,(++)×=,×200=140.
3.(2022·芜湖模拟)由小到大排列的一组数据x1,x2,x3,x4,x5,其中每个数据都小于-1,那么对于样本1,x1,-x2,x3,-x4,x5的中位数可以表示为 ( )
+x2 +x1
+x5 -x4
【解析】<x2<x3<x4<x5<-1,
所以x1<x3<x5<1<-x4<-x2,那么该组样本的中位数为中间两数的平均数,即121+x5.
4.(2022·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,,不变的数字特征是 ( )
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【解析】,最中间的数据没变,所以不变的数字特征是中位数.
5.(多项选择)(2022·潍坊模拟)如图是某 商城2022年华为、苹果、三星三种品牌的 各季度销量的百分比堆积图(如:第三季度华为销量约占50%,三星销量约占30%,苹果销量约占20%),根据该图,以下结论中不正确的选项是 ( )
,每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量
,销量最小的为苹果
【解析】,第四季度中,华为销量大于50%,三星和苹果总销量之和低于华为的销量,故A错误;
对于B,每个季度的销量不确定,根据每个季度的百分比无法比拟苹果在第二、三季度销量的多少;
对于C,第一季度销量最大的是华为,故C错误;
对于D,由图知,四个季度华为的销量占比都最大,所以华为的全年销量最大,D正确.
二、填空题(每题5分,共15分)
6.(2022·江苏高考)一组数据6,7,8,8,9,10,那么该组数据的方差
是________. 
【解析】由题意,该组数据的平均数为6+7+8+8+9+106=8,所以该组数据的方差是16[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=53.
答案:53
7.(2022·泰州模拟)如下图的茎叶图记录了一组数据,关于这组数据,其中说法正确的序号是________.  
①众数是9; ②平均数是10; ③中位数是9; ④.
【解析】由题意可知,该组数据分别为:7,8,9,9,9,10,11,12,12,13,
该组数据的众数为9,
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平均数为7+8+9+9+9+10+11+12+12+1310=10,中位数为9+102=,
标准差为9+4+1×3+0+1+4+4+910=,
因此,①②正确.
答案:①②
,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如下图.
(1)频率分布直方图中x的值为________. 
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为________.  
【解析】(1)由频率分布直方图中各小矩形的总面积为1,得( 2+ 4×2+ 6+x+ 0)×50=1,解得x= 4.
(2)用电量在[100,250)内的频率为( 6+ 4+ 0)×50=,故用电量落在区间[100,250)内的户数为100×=70.
答案:(1) 4 (2)70
三、解答题(每题10分,共20分)
,某中学团委组织了“歌颂祖国,爱我中华〞知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名,将其成绩(成绩均为整数)分成[40,50),[50,60),…,[90,100]六组,并画出如下图的局部频率分布直方图,观察图形,答复以下问题:
(1)求第四组的频率,并补全这个频率分布直方图.
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
【解析】(1)因为各组的频率和等于1,
所以第四组的频率为1-(+×2++)×10=.
补全的频率分布直方图如下图.
(2)依题意可得第三、四、五、六组的频率之和为(+++)×10=,
那么可估计这次考试的及格率是75%.
因为抽取学生的平均分约为45×+55×+65×+75×+85×+95×=71(分),所以可估计这次考试的平均分为71分.
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(分别称为A药, B药)的疗效,随机选取18位患者服用A药,18位患者服用B药,这36位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h),试验的观测结果如下:
服用A药的18位患者日平均增加的睡眠时间:
服用B药的18位患者日平均增加的睡眠时间:
(1)分别计算两组数据的平均数(小数点后保存两位小数),从计算结果看哪种药疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?并说明理由.
【解析】(1)服用A药的18位患者日平均增加的睡眠时间的平均数为
xA=118(+++…+++)≈(h)
服用B药的18位患者日平均增加的睡眠时间的平均数为xB=118(+++…+++)≈(h),
>,所以A种药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如图茎叶图:
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有23的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有23的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.
(15分钟 35分)
1.(5分)(2022·福州模拟)某工厂对一批新产品的长度(单位:mm)进行检测,如
图是检测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数与平均数分别
为 ( )
, ,25
, ,
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【解析】,得平均数为5×(×+×+×+×+×)=,
×5+×5=<,
+×5=>,
所以中位数应在20～25内,
设中位数为x,+(x-20)×=,
解得x=,.
【变式备选】
某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出100名司机,抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如下图,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是 ( )
岁 岁
岁 岁
【解析】,所有矩形面积之和为1,所以,数据位于25,30的频率为1-+++×5=,
×5+=,
+×5=,
所以,中位数位于区间30,35,设中位数为a,
+a-30×=,解得a≈(岁).
2.(5分)(2022·郑州模拟)某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示,总体的中位数为12,假设要使该总体的标准差最小,那么4x+2y的值是 ( )
【解析】,所以x+y=4,数据的平均数为110×(2+2+3+4+x+y+20+19+19+20+21)=,要使该总体的标准差最小,即方差最小,所以(10+x-)2+(10+y-)2=(x-)2+(y-)2
≥2x+y-=,
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当且仅当x-=y-,即x=y=2时取等号,此时总体标准差最小,4x+2y=12.
【变式备选】
(2022·驻马店模拟)样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是2,那么xy的值为 ( )
【解析】,
那么有9+10+11+x+y5=10,得x+y=20,
由于样本的方差为2,
那么有1+0+1+x-102+y-1025=2,
得x-102+y-102=8,
即x2+y2-20x+y+200=8,所以x2+y2=208,
因此xy=x+y2-x2+y22=96.
3.(5分)(2022·阳泉模拟)气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据:(记录数据都是正整数)
①甲地5个数据的中位数为24,众数为22;
②乙地5个数据的中位数为27,总体均值为24;
③丙地5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,.
那么肯定进入夏季的地区有________.(填序号) 
【解析】①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22,根据数据得出:甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为:22,22,24,25,26,其连续5天的日平均气温均不低于22;
②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24,当5个数据为19,20,27,27,27时,可知其连续5天的日平均温度有低于22℃的,故不确定;
③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,假设有低于22,假设取21,,可知其连续5天的日平均温度均不低于22.
那么肯定进入夏季的地区有甲、丙两地.
答案:①③
【变式备选】
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某样本的容量为50,平均数为70,,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,,重新求得样本的平均数为x,方差为s2,那么 ( )
=70,s2<75 =70,s2>75
>70,s2<75 <70,s2>75
【解析】,可得
x=70×50+80-60+70-9050=70,设收集的48个准确数据分别记为x1,x2,…,x48,
那么75=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+(60-70)2+(90-70)2]
=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+500],
s2=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+(80-70)2+(70-70)2]
=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+100]<75,
所以s2<75.
4.(10分)(2022·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组
[-,
0)
[0,
)
[,
)
[,
)
[,
)
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例.
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).()
附:74≈.
【解析】(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
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14+7100==.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.
(2)y=1100(-×2+×24+×53+×14+×7)=,
s2=1100∑i=15niyi-y2
=1100[(-)2×2+(-)2×24+02×53+×14+×7]
= 6,所以s= 6=×74≈,
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
5.(10分)(2022·苏州模拟)栀子原产于中国,喜温暖湿润、阳光充足的环境,,四季常绿;花,,,一段时间后,从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度,并以此测量数据作为样本,得到该样本的频率分布直方图, m的植株高度茎叶图如下图.
(1)求植株高度频率分布直方图中a,b,c的值.
(2)在植株高度频率分布直方图中,同一组中的数据用该区间的中点值代表,植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率,估计这批栀子植株高度的平均值.
【解析】(1)由茎叶图知,a==,b==1.
由频率分布直方图知(+1+c+3+4)×=1,所以c=.
(2)这批栀子植株高度的平均值的估计值为
(×+×1+×3+×4+×)×=(m).