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正弦定理和余弦定理
【知识梳理】
教材回扣 填一填
(1)正弦定理:
=______=______=2R(R是△ABC外接圆的半径)
(2)余弦定理:
①在△ABC中,有a2=_____________;
b2=_____________;
c2=_____________.
②在△ABC中,有:cosA=__________;
cosB=__________;
cosC=__________.
b2+c2-2bccosA
c2+a2-2cacosB
a2+b2-2abcosC
(3)在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的状况:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinA<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的
个数
_____
_____
_____
_____
_____
一解
两解
一解
一解
无解
教材提炼 记一记
(1)三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=___,其变式有:
A+B=_____, =_______等.
(2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_____;
cos(A+B)=______;
sin =_______;
cos =_______.
π
π-C
sinC
-cosC
(3)正弦定理的公式变形:
①a=_______,
b=_______,c=_______;
②sinA∶sinB∶sinC=_________;
③sinA= ,sinB=____,sinC=____;
④
2RsinA
2RsinB
2RsinC
a∶b∶c
关键总结 看一看
(1)常用措施：代入法、边角转化法.
(2)数学思想:数形结合、分类讨论.
【小题快练】
静心思考 判一判
(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( )
(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.( )
(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.( )
(4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( )
(5)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.( )
【解析】(1),它们对任意三角形都成立.
(2).
(3).
(4).
(5)= ,sinB= ,由sinA>sinB得a>b,即A>B.
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
链接教材 练一练
(1)(必修5P8T2(1)改编)在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=( )
° ° ° °
【解析】.
cosB=
由于0°<B<180°,因此B=60°,故A+C=120°.