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九年级数学试卷
（本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图是（ ）．
第1题图
A．B．C．D．
2．几种气体的沸点（标准大气压）如下表：
气体
氢气
氮气
氧气
氦气
沸点温度（℃）
-
其中沸点最低的气体是（ ）．
A．氢气 B．氮气 C．氧气 D．氦气
3．今年，国庆节假期，辽宁文旅围绕“畅游山海，欢庆华诞”主题，整合优质资源，优化文旅服务．据统计，，％．将55976000用科学记数法表示为（ ）．
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是中心对
称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
6．一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（ ）．
第6题图
A．160° B．120° C．110° D．90°
7．本溪是拥有自然和文化“双遗产”的城市，素有“山水画廊”之称，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末在本溪游玩，他们想在“本溪水洞”，“关门山森林公园”，“五女山山城”，“九顶铁刹山”这四个景点中任意选择两个游玩，则选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的概率是（ ）．
A． B． C． D．
8．我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
9．如图，正方形ABCD是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形ABCD面积的（ ）．
第9题图
A． B． C． D．
10．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的个数是（ ）．
第10题图
A．1 B．2 C．3 D．4
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解：__________．
12．关于x的一元二次方程有两个解，则k的取值范围是__________．
13．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则__________．
14．如图，在中，点E为AD边上的中点，连接CE交BD于点O，若，则的面积为__________．
第14题图
15．如图所示在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，，点B和点D分别在x轴和y轴上，，反比例函数过点C，则反比例函数解析式为__________．
第15题图
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）
（1）（5分）计算：；
（2）（5分）计算：．
17．（8分）“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元．
（1）求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？
（2）若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？
18．（8分）为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按4∶4∶2的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．下面是这20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）．
总评成绩频数分布直方图
小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表：
选手
测试成绩（分）
总评成绩（分）
综合知识
语言
写作
小明
83
72
80
78
小亮
86
93
（1）在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67，72，68，69，74，69，71．求这组数据的中位数；
（2）请你计算小亮的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由．
19．（8分）如图，中，，AD平分，过点C作交AD延长线于点E，点F是AC中点，连接EF，EB．
第19题图
（1）证明：四边形ABEF是菱形；
（2）若，，求边BC的长．
20．（8分）如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，，AB可绕点O旋转，O是AB的中点，测得厘米．
第20题图1 第20题图2 第20题图3
（1）正常放置时，，求此时点A到OC的距离；
（2）如图3，AB绕点O逆时针旋转到的位置，此时，求点A在竖直方向上升的高度（）．
（参考数据：，，）
21．（8分）
【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化．
【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？
【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据：
第x天
1
2
3
4
5
…
销售价格y（元/个）
109
108
107
106
105
…
销售量z（个）
11
12
13
14
15
…
经过分析计算，小组成员得到相关信息：
①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为：
②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为：
【解决问题】（1）求该超市第10天的销售利润；
（2）当时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元？
22．（12分）
【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形ABCD中，，，，，垂足是点E．求证：．
①如图2，小明同学给出如下解法：作，垂足是点F．
②如图3，小亮同学给出另一种解题方法：作，交DC延长线于点F．
请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程．
第22题图1 第22题图2 第22题图3
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明BE与DE的数量关系转化为BE与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在四边形ABCD中，，，，，交DA延长线于点E．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，四边形ABCD中，，，和都是钝角，且，，点M在AD上，请直接写出的最小值．
第22题图4 第22题图5
23．（13分）在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）．
例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点．
（1）点的1级变换点在反比例函数的图象上，k值为__________；
（2）点的1级变换点在直线上，求b值；
（3）点M在函数的图象上，点N是点M的2级变换点．
①设点，求n与m的函数关系式；
②点，，线段AB与①中的函数图象只有一个交点，请直接写出c的取值范围．
本溪市2024～2025学年（上）期末考试
九年级数学试卷答案及评分标准
（※若有其他正确解法或证法参照此标准赋分）
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．A 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11． 12．且 13．1 14． 15．
三、解答题（共75分）
16．（1）解：原式．
（2）解：原式．
17．解：（1）设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，
依题意得：，解得：．
答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元．
（2）设超市采购甲种稻花香大米m千克，
依题意得：，解得：．
答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克．
18．解：（1）将七位评委的分数从小到大排序：67，68，69，69，71，72，74，
排序后处在中间位置的数据是69分，
答：这组数据的中位数是69分．
（2）小亮语言这项测试的得分为：，
∴．
答：小亮的总评成绩为81分．
（3）小明不能入选，小亮能入选．
∵由这20名选手的总评成绩频数直方图可知，分数小于80分的有10人，
又∵学校准备根据总评成绩择优选拔10名广播员，
∴小亮总评成绩超过80分，能够入选；小明总评成绩没超过80分，不能入选．
19．（1）证明：∵，∴．
∵F是AC中点，∴，∴．
∵，∴．
∵AD平分，∴，
∴，∴．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵，∴是菱形．
（2）解：作交CA延长线于点H，则，
∵，∴．
在中，，，，
∵，，
∴，
．
在中，，∵，
又∵，∴．
20．解：（1）作于点D，∴．
∵O是AB中点且，∴．
在中，，，
∵，∴．
答：点A到OC的距离是4cm．
（2）作于点E，∴．
在中，，，
∵，又∵，∴．
在中，，，
∵，∴，
∴．
答：．
21．解：（1）当时，，，
∴元．
答：第10天销售利润是1400元．
（2）∵，∴．
∵，∴抛物线开口向下．
∵对称轴是，∴时，w随x的增大而减小．
又∵，∴时，w有最大值，此时．
答：第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元．
22．（1）小明解法：
∵，，∴．
∵，∴四边形CDEF是矩形，
∴，，∴．
∵，∴．
∵，，
∴，∴．
小亮解法：