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第11章 一元一次不等式
不等式的基本性质
基础过关全练
知识点1 不等式的基本性质
1.(2022江苏宿迁中考)如果x<y,那么下列不等式正确的是(M7211003)
( )
<2y B.-2x<-2y
-1>y-1 +1>y+1
>n,则一定有-3m -3n,“ ”中应填的符号是(M7211003)( )
A.> B.< C.≥ D.≤
3.【跨学科·物理】如图,x和10分别表示天平上两边的砝码的质量,请你用“>”或“<”填空:x-8 2. 
4.(1)【新独家原创】由不等式-πx2-2 024<-πy2-2 024可推出x y;(填“>”“<”或“=”) 
(2)已知a≥b,则ac2+1  bc2+1.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
5.(1)如果m+n>2n+1,请比较m与n的大小,并说明理由;
(2)【分类讨论思想】已知x>y,m=n,试比较mx和ny的大小.
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知识点2 用不等式的基本性质化简不等式
≥3的解集为x≤3a,那么a的取值范围是(M7211003)( )
≤0 ≥0
<0 >0
7.(2023内蒙古包头中考)关于x的一元一次不等式x-1≤m的解集在数轴上的表示如图所示,则m的值为( )
8.(2022江苏苏州姑苏期末)某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了30千克,价格为每千克x元;下午,他又买了20千克,价格为每千克y元,后来他以每千克x+y2元的价格卖完后,发现自己赔了钱,则x与y的大小关系是 .(M7211003) 
“⊕”,其运算规则为a⊕b=-2a+3b,如:1⊕5=-2×1+3×5=13,则不等式x⊕4<0的解集为 . 
,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式(a为常数).(M7211003)
(1)3x+5>4-x; (2)1-2x3>-1.
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11.【新独家原创】小虎对小明说他竟然推导出了0>2 024的错误结论,,并指出错误出在哪里,说明错误原因.
已知a>b,两边都乘2 024得2 024a>2 024b,①
两边都减去2 024a,得0>2 024b-2 024a,②
即0>2 024(b-a),③
两边都除以b-a,得0>2 024.④
能力提升全练
12.(2023江苏连云港东海期末,5,★★☆)如果关于x的不等式(1-k)x>2可化为x<-1,则k的值是( )
B.-1
D.-3
13.(2023北京中考,4,★★☆)已知a-1>0,则下列结论正确的是( )
A.-1<-a<a<1 B.-a<-1<1<a
C.-a<-1<a<1 D.-1<-a<1<a
14.(2021山东临沂中考,13,★★☆)已知a>b,下列结论:①a2>ab;②a2>
b2;③若b<0,则a+b<2b;④若b>0,则1a<( )
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15.(2022江苏泰州中考,15,★★☆)
已知a=2m2-mn,b=mn-2n2,c=m2-n2(m≠n),用“<”表示a、b、c的大小关系为 . 
16.(2022江苏扬州高邮期末,15,★★☆)若a<b<0,则m、m-a、m-b三个数之间的大小关系是 (用“<”号连接).(M7211003) 
17.(2021江苏连云港灌云月考,18,★☆☆)已知2x-y=4.
(1)用含x的代数式表示y: ; 
(2)若y≤3,求x的取值范围.
素养探究全练
18.【推理能力】根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法:
若a-b>0,则a b; 
若a-b=0,则a b; 
若a-b<0,则a b. 
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.请运用这种方法尝试解决下面的问题:比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小.
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19.【推理能力】【项目式学习试题】阅读下列材料,解决问题:
【问题背景】
小明在学习完不等式的基本性质之后,思考:
“如何证明不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变”?
在老师的启发下,小明首先把问题转化为以下的形式:
①已知:a>b,c<:ac<bc.
②已知:a>b,c<:ac<bc.
【问题探究】
(1)针对①,小明给出如下推理过程,请认真阅读,并填写依据:
∵c<0,即c是一个负数,
∴c的相反数是正数,即-c>0,
∵a>b,
∴a·(-c)>b·(-c)(依据: ), 
即-ac>-bc,
不等式的两端同时加(ac+bc)可得,-ac+(ac+bc)>-bc+(ac+bc)(依据: ), 
即ac<bc.
(2)参考①的证明方法,完成②的证明.
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答案全解全析
基础过关全练
根据不等式的基本性质逐个判断即可.
根据不等式的基本性质2,不等式两边同时乘-3,不等号的方向要改变,所以-3m<-.
<
解析 根据题图知左边砝码的质量x小于右边砝码的质量10,即x<10,所以x-8<<.
(1)> (2)≥
解析 (1)由不等式的基本性质1,将不等式两边同时加上2 024,得-πx2<-πy2,再由不等式的基本性质2,将不等式两边同时除以-π2,得x>y.
(2)∵c2+1>0,a≥b,
∴ac2+1≥bc2+1.
(1)m>:
因为m+n>2n+1,
所以m+n-2n>1,
所以m-n>1>0,所以m>n.
(2)当m=n=0时,mx=ny;
当m=n>0时,因为x>y,所以mx>ny;
当m=n<0时,因为x>y,所以mx<ny.
∵不等式ax≥3的解集为x≤3a,∴根据不等式的基本性质可知a<.
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∵x-1≤m,∴x≤m+1,根据题图可知,不等式的解集是x≤3.∴m+1==.
x>y
解析 根据题意知,他买黄瓜每千克平均价格是30x+20y50元,以每千克x+y2元的价格卖完后,发现自己赔了钱,所以30x+20y50>x+y2,所以30x+20y>25x+25y,所以5x>5y,所以x>y.
x>6
解析 由题意,得x⊕4=-2x+3×4<0,即-2x+12<0,∴-2x<-12,∴x>6.
(1)不等式的两边同时加上x,得4x+5>4,
不等式的两边同时减去5,得4x>-1,
不等式的两边同时除以4,得x>-14.
(2)不等式的两边同时乘3,得1-2x>-3,
不等式的两边同时减去1,得-2x>-4,
不等式的两边同时除以-2,得x<2.
错在第④>b,所以b-a<,不等号应改变方向.
能力提升全练
∵不等式(1-k)x>2可化为x<-1,∴21-k=-=.
∵a-1>0,∴a>1,∴-a<-1,∴-a<-1<1<.
∵a>b,∴当a>0时,a2>ab;当a<0时,a2<ab;当a=0时,a2=①中结论错误.
∵a>b,∴当|a|>|b|时,a2>b2;当|a|<|b|时,a2<b2;当|a|=|b|时,a2=②中结论错误
5年中考3年模拟•初中数学•苏科版•七年级下册
.
∵a>b,∴a+b>2b,故③中结论错误.
∵a>b,b>0,∴a>b>0,∴1a<1b,故④中结论正确.
综上,正确的个数是1.
b<c<a
解析 令m=1,n=0,则a=2,b=0,c=<1<2,所以b<c<a.
m<m-b<m-a
解析 因为a<b<0,
所以0<-b<-a.
所以m<-b+m<-a+m.
所以m<m-b<m-a.
故答案为m<m-b<m-a.
(1)因为2x-y=4,所以y=2x-4.
(2)因为y=2x-4≤3,所以x≤,即x的取值范围是x≤.
素养探究全练
若a-b>0,则a>b;
若a-b=0,则a=b;
若a-b<0,则a<b.
∵4+3a2-2b+b2-(3a2-2b+1)
=4+3a2-2b+b2-3a2+2b-1
=b2+3>0,
∴4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1.
5年中考3年模拟•初中数学•苏科版•七年级下册
(1)不等式的两边都乘同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都加上同一个整式,不等号的方向不变.
(2)∵c<0,即c是一个负数,
∴c的相反数是正数,即-c>0.
∵a>b,
∴a-c>b-c(依据:不等式的两边都除以同一个正数,不等号的方向不变),
不等式的两边同时加ac+bc可得,-ac+ac+bc>-bc+ac+bc(依据:不等式的两边都加上同一个整式,不等号的方向不变),
即ac<bc.