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第2章 整式的乘法
乘法公式
运用乘法公式进行计算
基础过关全练
知识点 运用乘法公式进行计算
1. 对式子(a-b-c)2 的变形不正确的是 ( )
A.[a-(b+c)]2 B.[(a-b)-c]2
C.[(b+c)-a]2 D.[a-(b-c)]2
(a+1)2(a-1)2的结果是(M7202003)( )
-1 +1
+2a2+1 -2a2+1
( )
A.(x-2y)(-x-2y)
B.(a+b+c)2
C.(x2-4)(x-2)(x+2)
D.(a-b+3)(b-a-3)
4.(2023北京东城期末)若(x+y2)(x-y2)(x2+y4)=xm-yn,则m= ,n= . 
5.【生命安全与健康】盛夏时节,许多孩子喜欢在水中嬉戏,青少年、,某市不少村镇“以疏代堵”,(a2+9b2)米,宽为(a+3b)米,高为(a-3b)米的游泳池,请你计算一下该游泳池的容积.
6.【教材变式·P49T1】运用乘法公式计算:
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(1)(x+2y)(x2-4y2)(x-2y);
(2)(a+b-3)(a-b+3);
(3)(x2+x-3)(x2-x-3).
能力提升全练
7.(2023湖南衡阳南岳实验中学期中,10,★★☆)计算(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4-b4)的结果是( )
+2a4b4+b8 -2a4b4+b8
+b8 -b8
8.(2022湖南永州祁阳二中期中,10,★★☆)计算(2x-3y+1)(2x+3y-1)的结果为 ( )
-12xy+9y2-1
-9y2-6y-1
+9y2-1
-9y2+6y-1
9.(2023湖南邵阳洞口期中,18,★★☆)计算2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的结果为 . 
10.(2022湖南永州京华中学期中,22,★★☆)七年级(1)班与七年级(2)班为了表彰学习进步的同学,小超和小红两位班长各买了一些笔记本,小超说:“对于某个非零数a,我买的笔记本数可以表示为
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(a2+2a+1)(a2-2a+1).”小红知道小超买的笔记本数,于是她说:“利用你所说的a,我买的笔记本数可以表示为(1+a2-a)(1+a2+a).”你知道谁买的笔记本多吗?请利用学过的乘法公式的知识说说你的理由.
素养探究全练
11.【运算能力】利用我们学过的知识,可以得到形式优美的等式:a2+b2+c2-ab-bc-ac=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].(M7202003)
(1)请你检验这个等式的正确性;
(2)若a=2 021,b=2 022,c=2 023,你能很快求出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值吗?
12.【运算能力】阅读以下材料:
利用整式的乘法知识,我们可以证明以下有趣的结论:将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘,得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和.
设a,b,c,d为有理数,则(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(a2d2-2abcd+b2c2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.
请你解决以下问题:
(1)填空:(a2+b2)(c2+d2)=(ac-bd)2+( )2; 
(2)根据阅读材料可以写出等式:130=13×10=(22+32)×(12+32)=(2×1+3×3)2+(2×3-3×1)2=112+32,仿照这个过程将650写成两个正整数的平方和;
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(3)将20 182 018表示成两个正整数的平方和(直接写出一种答案即可).
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第2章 整式的乘法
运用乘法公式进行计算
答案全解全析
基础过关全练
[a-(b-c)]2=(a-b+c)2 ≠(a-b-c)2,故选D.
(a+1)2(a-1)2=[(a+1)(a-1)]2=(a2-1)2= a4-2a2+1.
选项A不能用完全平方公式计算,故选A.
4;8
解析 ∵(x+y2)(x-y2)(x2+y4)=(x2-y4)(x2+y4)=x4-y8,∴xm-yn=x4-y8,∴m=4,n=8,故答案为4;8.
该游泳池的容积为(a2+9b2)(a+3b)(a-3b)=(a2+9b2)(a2-9b2)=(a4-81b4)立方米.
(1)原式=[(x+2y)(x-2y)](x2-4y2)=(x2-4y2)(x2-4y2)=x4-8x2y2+16y4.
(2)原式=[a+(b-3)][a-(b-3)]=a2-(b-3)2=a2-(b2-6b+9)=a2-b2+6b-9.
(3)原式=(x2-3+x)(x2-3-x)=(x2-3)2-x2=x4-6x2+9-x2=x4-7x2+9.
能力提升全练
(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4-b4)=(a2-b2)(a2+b2)·(a4-b4)=(a4-b4)2=a8-2a4b4+.
原式=[2x+(1-3y)][2x-(1-3y)]=4x2-(1-3y)2=4x2-9y2+6y-1.
364
解析 2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
=(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
=(38-1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
=(316-1)(316+1)(332+1)+1
=(332-1)(332+1)+1
=364-1+1=364,故答案为364.
:(a2+2a+1)(a2-2a+1)=[(a2+1)+2a][(a2+1)-2a]=(a2+1)2-(2a)2=a4-2a2+1.(1+a2-a)(1+a2+a)=[(1+a2)-a][(1+a2)+a]=(1+a2)2-a2=a4+a2+1.∵(a4+a2+1)-(a4-2a2+1)=3a2,且a≠0,∴3a2>0,∴小红买的笔记本多.
素养探究全练
5年中考3年模拟·初中数学·湘教版·七年级下册
(1)a2+b2+c2-ab-bc-ac=12(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=12(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2)=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2],故这个等式是正确的.
(2)当a=2 021,b=2 022,c=2 023时,a2+b2+c2-ab-bc-ac=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=12×[(2 021-2 022)2+(2 022-2 023)2+(2 023-2 021)2]=12×(1+1+4)=3.
(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2-2abcd+b2d2)+(a2d2+2abcd+b2c2)
=(ac-bd)2+(ad+bc)2.
(2)650=65×10=(82+12)×(12+32)=(8×1+1×3)2+(8×3-1×1)2=112+232.
(3)20 182 018=2 018×10 001=(432+132)×(1002+12)=(43×100+13×1)2+(43×1-13×100)2=4 3132+1 2572.(答案不唯一)