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微积分学的创始人:
德国数学家 Leibniz
微分学
导数
描述函数变化快慢
微分
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具
(从微观上研究函数)
导数与微分
导数思想最早由法国
数学家 Ferma 在研究
极值问题中提出.
英国数学家 Newton
一、引例
二、导数的定义
三、导数的几何意义
四、函数的可导性与持续性的关系
五、单侧导数
第一节
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导数的概念
第二章
1. 求曲线上一点处切线的斜率
在初等数学中我们已经懂得，曲线y=f (x)上的两点M0(x0，y0)和M(x，y)的连线M0 M是该曲线的一条割线。当点M沿曲线无限趋近于点M0时，割线绕点M0转动，其极限位置M0T就是曲线在点M0处的切线，。
o
y
x
y=f (x)
M
M0
T
y0＋ △y
y0
x0
x0＋ △ x
△y
导数的概念
曲线上的点由M0(x0，y0)变到M0(x0＋ △ x，y0＋ △y),当△ t很小时可用割线M0 M的斜率近似替代切线M0T的斜率。割线的斜率即为增量比
(3) 求极限
当 时，点M沿曲线无限趋近于点M0，割线M0 M的极限为切线M0T，因而割线斜率的极限就是切线的斜率，即
我们分三步来处理。
(1) 求增量
给x0一种增量△ x，自变量由x0变到x0 ＋ △ x，曲线上点的纵坐标有对应的增量△ y= f (x0＋ △ x) － f (x0) .
(2) 求增量比，即求割线M0 M的斜率
其中 是切线M0T与x轴正向的夹角。
用s表达质点运动的旅程，以O为原点，沿质点运动的方向建立数轴—s轴，，显然旅程s是时间t的函数，记作 s=f (t),
t∈[0,T]，现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0).
分三步来处理这一问题。
(1) 求增量
给t0一种增量△ t，时间t0从变到t1 ＝ t0 ＋ △ t ，质点M从M0运动到M1 ，旅程的增量为
△ s= f (t1) － f (t0) = f (t0＋ △ t) － f (t0)
(2) 求增量比，即求△ t内的平均速度
当△ t 很小时，可把质点在△ t间隔内的运动近似当作匀速运动（以不变代变），则△ t内的平均速度
O
M
M0
M1
P
s
△ s
2 求变速直线运动的瞬时速度
(3) 求极限
当△ t 越来越小时，平均速度便越来越接近于t0时刻的瞬时速度v0 ，于是当 时，平均速度的极限就是瞬时速度v0 ，即
两个问题的共性:
瞬时速度
切线斜率
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题尚有:
加速度
角速度
线密度
电流强度
是速度增量与时间增量之比的极限
是转角增量与时间增量之比的极限
是质量增量与长度增量之比的极限
是电量增量与时间增量之比的极限
变化率问题
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二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点
存在,
并称此极限为
记作:
即
则称函数
若
的某邻域内有定义 ,
在点
处可导,
在点
的导数.
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曲线
在点
的切线斜率为
曲线在点
处的
切线方程:
法线方程:
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在点
的某个右 邻域内
左右导数
若极限
则称此极限值为
在 处的右 导数,
记作
即
(左)
(左)
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
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