文档介绍：该【二维波动方程的有限差分法 】是由【h377683120】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【二维波动方程的有限差分法 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。学 生 实 验 报 告
实验课程名称 偏微分方程数值解
开课实验室 数统学院
学 院 数 统 年级 ２0１3 专业班 信计02班
学 生 姓 名 ﻩ 学 号
开 课 时 间 2015 至 2016学年第 2 学期
总 成 绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室: 数统学院 实验时间 ： 20１6年 ６月20日
实验项目
名 称
二维波动方程得有限差分法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其她
指导教师
曾芳
成 绩
就就是
一、实验目得
通过该实验，要求学生掌握求解二维波动方程得有限差分法,并能通过计算机语言编程实现。
二、实验内容
考虑如下得初值问题:
(１)
1、在第三部分写出问题(1)三层显格式。
2、根据您写出得差分格式,编写有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。
３、取,分别将时刻得数值解画图显示。
4、 该问题得解析解为，将四个时刻得数值解得误差画图显示,对数值结果进行简单得讨论。
三、实验原理、方法(算法）、步骤
网格划分,故,,,。在内网点,利用二阶中心差商，对(1)建立差分格式:
(2)
整理得到:
(3)
其中，,网比,局部截断误差为。
考虑边界条件,差分格式为:
(4)
考虑初始条件,差分格式为：
(5)
考虑初始条件，利用二阶差商近似：
(6)
设时刻得点为内点,则满足差分格式(2)，代入上式得到:
(７)
将(6)得到得结果代入(7)中,整理得到:
(8)
综上(2)、(４)、（5）、(８)得到三层显格式得差分格式为:
(9)
其中,局部截断误差为。
四、实验环境(所用软件、硬件等)及实验数据文件
Ｍatlab
%二维波动方程数值计算(关键：怎么运用i,ｊ,ｋ三个指标建立循环)
clｃ;
％可以将代码换成函数m文件
ｈ=0、1;tau=０、1*ｈ;%定义步长
ｒ=tau/ｈ;％网比
[x,y,ｔ]=ｍeｓｈｇriｄ(0:h:1,0：h:1,0：ｔau:1、4)；%空间网格剖分
uu=ｃos(sｑrt(2)*pｉ＊t)、＊sin(pi*x）、*siｎ(pｉ*y);％精确解计算
%第一层网点计算
u=sin(pｉ*x)、*sin(ｐi*y);%初始条件
u1＝u（:,：,1）;%因为此时得到得ｕ为11x１1ｘ141，故只取第一层
%第二层网点计算
for i＝２:10
for ｊ=2:10
ｕ（i,j,２)=0、5*ｒ^2*（u(i+１,j,1)+u(i-1,j，1)+u(i,j+1，１)+ｕ(i,ｊ－1,1))+（1－２＊r^2）*u(ｉ，j,1)；
u(11，:,2）=0;u(:，１１，2）＝0;
end
eｎｄ
ｕ２=ｕ（：,:，2);
%第３-1４1层网点计算
for k=2:14０
for i=2:10
fｏr ｊ=２：10
u(i,j,k+1)=r^2*(ｕ(i+1，j,k)+ｕ(ｉ－1，j，k)+u(i,j+１,k)+u(i，ｊ-１,k)）+（2－4*ｒ＾2)*u(i
，j，k)-u（i,j，k-1）;
ｕ（１１,：,ｋ+1)=0;u(:，１１，ｋ＋１)＝0;
eｎd
eｎｄ
end
%%%%％%％%%%%%%%％%％％%%%%％%%%结果分析与作图%％％%%％％%%%%％％%％%%%%％%%％％%%%%
wuchａ＝ａｂs(ｕ－ｕu);%求绝对误差矩阵１1ｘ11x１4１
wuｃｈa1=wuｃha(:,:,11);%计算t＝０、1时刻得绝对误差矩阵１1x11
ｗucha2=wucha(:,:，５1）;%计算t=0、5时刻得绝对误差矩阵１１x11
wuchａ3=wucｈa(：,：,101)；％计算t=1、0时刻得绝对误差矩阵11ｘ１1
ｗｕchａ4=ｗucha(:,:，141);%计算t=1、４时刻得绝对误差矩阵11ｘ1１
x0=0:h:1;y0=０:ｈ:1;
%%%％%%％%%％％%%%%％%%%％％%%％%%%%误差分析%％％%％%％%％%%%%%%％%%%%％%％%%%％%%%%％
％作t＝0、１时刻得绝对误差图
suｂplot（2,2,1）;
ｍesh(x0，y０,wuchａ1);
title('t=0、1时刻得绝对误差＇);
ｘlａｂel(＇x变量');ylabel('ｙ变量');zｌabｅl(＇绝对误差值');
%作t=0、5时刻得绝对误差图
subplｏt（2,２,2);
mｅsh(x0，y0，ｗuｃha2)；
tｉtle('t=０、５时刻得绝对误差'）;
xｌabｅl('ｘ变量'）;ylabel('y变量'）;zlabel（'绝对误差值'）;
%作t＝1、0时刻得绝对误差图
subplｏt（2，2，3）;
ｍｅsh(x0,y0，ｗucha3);
title('t=１、0时刻得绝对误差'）；
xlabel('x变量')；ylaｂel('y变量');ｚｌabel（'绝对误差值')；
%作t=1、４时刻得绝对误差图
subploｔ(２,2,４）;
meｓh（x0,ｙ0，ｗuchａ4)；
title(＇t=1、4时刻得绝对误差');
ｘlａbel（＇ｘ变量'）;ylabel('y变量'）;zlabel('绝对误差值');
%%%％%%%%％%%%%%%%%%％%％％％％%%四个时刻数值解、精确解%%%%%%%％%%%%%%%%%％%%%%％%%%%%%
%%作t＝0、1、0、5时刻得数值解与精确解
subplｏt(2，2，1)；
mｅsh(x0，y0,u(:,：,１1));%作t＝０、１时刻得数值解
tｉtlｅ（'t＝0、1时刻得数值解')；
ｘlａbeｌ（'x变量');ylaｂel('y变量＇);zlａbeｌ（'ｕ值')；
subpｌoｔ（2,２,2）；
meｓh(x0,y０,ｕu(:，:，１1));%作t=０、1时刻得精确解
title('t=０、１时刻得精确解');
ｘlａbｅl('x变量');ｙlabel('y变量');zlabeｌ(＇u值');
％％作t=0、5时刻得数值解与精确解
sｕｂplot(2,2,3）;
mesh（x0,ｙ0,u(：,:,51));%作t=0、5时刻得数值解
tiｔlｅ(＇t=0、５时刻得数值解');
xlabel（'x变量');yｌaｂel('y变量');ｚｌabｅl('u值＇);
subplot(2,2，4)；
mesh(x０，y0,ｕu（:,：，５1))；%作ｔ=0、5时刻得精确解
title('ｔ=0、5时刻得精确解');
ｘlabel('x变量＇);ｙlaｂel(＇y变量'）;zlaｂｅｌ('u值');
％%%%%%%％%%%%%%％%％％%％%%%%％%%％%分别复制粘贴运行%%%%%％%％％%％％%%%％%%%%%%%%％％%%％%%
%%作t=1、0、1、4时刻得数值解与精确解
subｐlot(2，2，1)；
meｓh(ｘ0,y0,u(：，:,101));%作t=1、0时刻得数值解
ｔiｔle('ｔ＝１、0时刻得数值解')；
xｌabel('x变量');ylabel（'y变量＇);zlabel('ｕ值');
subplot(2,2,２);
mｅsh(x０,y０,ｕu(:，:，101));％作t=１、0时刻得精确解
tｉtle(＇t=1、0时刻得精确解');
xlaｂel（'ｘ变量＇);ylabｅl('y变量');zlabｅｌ('u值'）;
%％作t=1、4时刻得数值解与精确解
subｐlｏｔ（2,2，3）；
ｍｅsh（x０,y0,u(:,:,141));%作ｔ=1、4时刻得数值解
ｔitle('t＝1、4时刻得数值解＇）;
xlaｂel('ｘ变量＇);ｙlaｂel('ｙ变量');zlabel(＇u值');
sｕbｐlｏｔ(２,2，4);
mｅsh(x0,y0,uu（：,:，14１）);%作ｔ=1、４时刻得精确解
tｉtle(＇t=1、４时刻得精确解＇）;
xlabeｌ('x变量＇);ylabel('y变量'）；ｚｌaｂel('u值＇);
五、实验结果及实例分析
1、时刻得数值解与精确解图
图１ t=0、1、0、5时刻得数值解、精确解
图2 t=1、0、1、4时刻得数值解、精确解
注:上两图为四个时刻得数值解与精确解,
,三层显格式达二阶收敛,不难看出,收敛效果很好，符合理论。下图就就是四个时刻得绝对误差图像，从图中看出,绝对误差较小，且经过计算得到,收敛阶近似于2,正好符合理论值。
２、时刻得绝对误差图
图3 四个时刻得绝对误差
3、四个时刻（ｔ=0、1、0、５、1、0、1、4）得绝对误差表
ｔ=0、1时刻得绝对误差
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t=0、5时刻得绝对误差
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t=１、0时刻得绝对误差
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ｔ＝1、4时刻得绝对误差
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