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2024年江苏高考数学真题及答案
本试卷共10页，19小题，满分150分.
注意事项：
，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
：每小题选出答案后，、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
：、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4. 已知，则（ ）
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A. B. C. D.
5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 当时，曲线与交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8. 已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
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A. B.
C. D.
10. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点 B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
11. 造型可以做成美丽的丝带，，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A. B. 点在C上
C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点在C上时，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，
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7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若的面积为，求c．
16. 已知和椭圆上两点.
（1）求C的离心率;
（2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值为，求．
18. 已知函数
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（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围．
19. 设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
（1）写出所有，，使数列是可分数列；
（2）当时，证明：数列是可分数列；
（3）从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
参考答案
本试卷共10页，19小题，满分150分.
注意事项：
，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
：每小题选出答案后，、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
：、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
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，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
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【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，所以即，
故，故圆锥的体积为.
故选：B.
6. 已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
7. 当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
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【解析】
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
8. 已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
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，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，，所以，