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2024年内蒙古通辽中考数学试题及答案
注意事项：
1．本试卷共8页，26道小题，满分为120分，考试时间为120分钟．
2．根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试迻均要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效．
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，第小题只有一个正确答案．请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1. 某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：）如下：
170 175 169 171 172 170 173
这组数据的中位数是（ ）
A. 175 B. 172 C. 171 D. 170
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
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A. B. C. D.
6. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
A B. C. D.
8. 将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
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A. B.
C. D.
10. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
11. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A. B. C. D. 3
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13. 因式分解______．
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14. 如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围)_________．
15. 分式方程解为______．
16. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）．
17. 关于抛物线（是常数），下列结论正确是_________（填写所有正确结论的序号）．
①当时，抛物线的对称轴是轴；
②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤）
18. 计算：．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
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21. 为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机扎取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
60
61
62
94
73
73
85
85
87
72
63
64
70
66
74
65
67
75
76
71
94
93
84
91
76
82
83
83
92
84
80
80
82
92
91
86
77
86
88
72
70
71
93
90
81
90
74
78
81
75
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：
组别
成绩分组
频数
16
16
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（1）频数分布表中________，________，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中________，所对应的扇形的圆心角度数是________．
【应用数据】
（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
22. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
23. 某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．
24. 【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
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【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．
（1）求抛物线表示函数解析式；
（2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．
26. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．
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【初步探究】
如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点．
问题1 和的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接，点是的中点，连接，．求证．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．
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参考答案
注意事项：
1．本试卷共8页，26道小题，满分为120分，考试时间为120分钟．
2．根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试迻均要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效．
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，第小题只有一个正确答案．请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】C
【11题答案】
【答案】B
【12题答案】
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【答案】A
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】①④##④①
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤）
【18题答案】
【答案】
【19题答案】
【答案】，
【20题答案】
【答案】米
【21题答案】
【答案】（1）；，补全图形见解析；（2）；；（3）人
【22题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【23题答案】
【答案】（1）煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
（2）购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．
【24题答案】
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析