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欧拉
欧拉公式
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家．在世刊登论文700多篇，去世后还留下100多篇待刊登．其论著几乎波及所有数学分支．他首先使用f(x)表达函数，首先用∑表达连加，首先用i表达虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式．
多面体
（6）
( 8 )
简单多面体
表面通过持续变形能变成一种球面的多面体
( 5 )
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
（1）
（2）
（3）
（4）
图形编号
顶点数V
面数F
棱数E
（1）
（2）
（3）
（4）
规律：
V+F-E=2
4
6
4
8
6
12
6
8
12
9
8
15
（欧拉公式）
( 8 )
( 5 )
5
8
5
16
16
32
7
8
12
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
图形编号
顶点数V
面数F
棱数E
（5）
（7）
（6）
V+F-E=2
（欧拉公式）
简单多面体
讨论
问题2：怎样证明欧拉公式（证法一：内角和法）
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
讨论
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多少？
(n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F）· 1800
思考3： n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系
n1+n2+···+nF =2E
F、V、E．
问题2：怎样证明欧拉公式（证法一：内角和法）
讨论
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
多边形内角和=（E－F）·3600
思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
∴（E-F）·3600= (V-2) ·3600
问题2：怎样证明欧拉公式（证法一：内角和法）
讨论
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
V+F-E=2
欧拉公式
证法二：去边法
问题3:欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大奉献的三位科学家．C60是有60 个C原子构成的分子，它构造为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种．计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个．
由题意有顶点数V=60，面数F=x+y，
答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个．