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一、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
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平面及其方程
第八章
①
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
且垂直于非零向
称①式为平面的点法式方程,
求该平面的方程.
法向量.
量
则有
故
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即
解: 取该平面 的法向量为
的平面 的方程.
运用点法式得平面 的方程
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
此方程称为平面的一般
任取一组满足上述方程的数
则
显然方程②与此点法式方程等价,
②
的平面,
因此方程②的图形是
法向量为
方程.
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特殊情形
• 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表达
通过原点的平面;
• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表达
• A x+B y+D = 0 表达
• C z + D = 0 表达
• A x + D =0 表达
• B y + D =0 表达
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xoy 面 的平面;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面.
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解:
因平面通过 x 轴 ,
设所求平面方程为
代入已知点
得
化简,得所求平面方程
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三、两平面的夹角
设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角 的余弦为
即
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
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尤其有下列结论：
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因此有
例4. 一平面通过两点
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
即
的法向量
约去C , 得
即
和
则所求平面
故
方程为
且
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外一点,求
例5. 设
解:设平面法向量为
在平面上取一点
是平面
到平面的距离d .
,则P0 到平面的距离为
(点到平面的距离公式)
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