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运用元素法处理:
定积分在几何上的应用
定积分在物理上的应用
定积分的应用
第一节
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分处理 ?
二 、怎样应用定积分处理问题 ?
第六章
表达为
一、什么问题可以用定积分处理 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 ,
即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
定积分定义
一种整体量 ;
二 、怎样应用定积分处理问题 ?
第一步 运用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的
微分体现式
第二步 运用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
积分体现式
这种分析措施称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为:
条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
近似值
精确值
第二节
四、 旋转体的侧面积 (补充)
三、已知平行截面面积函数的
立体体积
第二节
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长
定积分在几何学上的应用
第六章
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
图形的面积 .
解: 由
得交点
例2. 计算抛物线
与直线
的面积 .
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选用 y 作积分变量,
则有
例3. 求椭圆
解: 运用对称性 ,
所围图形的面积 .
有
运用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
当 a = b 时得圆面积公式
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
按顺时针方向规定起点和终点的参数值
则曲边梯形面积