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制作：浚县王庄乡一中 张恩岭
5/12/2025
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注意：有此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
运用二次函数求实际问题中的最大值或
最小值解题的一般环节是怎样的？
首先应当求出函数解析式和自变更量的取值范围。
然后通过配方变形，或运用公式求它的最大值或最小值。
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例如在建造温室问题中，为了使温室种植的面积最大，
应怎样确定边长ｘ的值？
在平常生活和生产实际中，二次函数的性质有着许多应用。
例如：
假如温室外围是一种矩形，周长为120m ,
室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)。
y＝(x－2)(56－x)
＝－x2＋58x－112
＝－(x－29)2＋729
(2<x<56)
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例1：用8 m长的铝合金型材做一种形状如图所示的矩形窗框．
应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？
最大透光面积是 多少？
解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，
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变式:图中窗户边框的上半部分是由四个全等
扇形构成的半圆，下部分是矩形。假如制作
一种窗户边框的材料总长为6米，那么怎样
设计这个窗户边框的尺寸，
使透光面积最大()?
x
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巩固练习：
1、.已知直角三角形的两直角边的和为2。求斜边长也许达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长分别为多少？
A
B
C
2、探究活动:
已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一种面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？
A
B
C
D
E
F
K
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例：用长6m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问宽和高各是多少m时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
答：当窗框的宽为1m，，窗户的透光面积最大，.
x
x
x
解：设窗框的宽为 x m,
则高为 m
由于 x>0 , 且 6-3x>0，因此 0<x<2.
设 透光面积为 y m2，则
即
∵
, b=3, c=0
∴
∵
,x=1 属于0<x<2的范围内，
∴当x=1时，y最大值=
此时,窗框的高为
,
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练习1 如图，用长20的篱笆，一面靠墙围成 一种长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
x
x
解:设矩形垂直于墙的边长为x，则另一边位（20－2 x），
设矩形的面积为 y，
则 y＝ x（20－2 x）=－2 x２＋ 20x （0＜ x<10 ）
即 y＝ －2 x２＋20x
＝ －2 （x２－１0x）＝－２(x－5)2+50
∴当 x＝５时， y最大值＝５０
此时另一边长为 ２０－ 2 x＝２０－２×５＝１０
答：与墙垂直的边取５，另一边取１０时，围成的面积最大，最大面积为５０
由于 x>0,且 20－2 x＞０，因此0＜ x<10
∵a=－2<0 , x=5 属于0<x<10 的范围内
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思考与推广：将60cm长的木条做成图（一）的装饰品，为使它的面积最大，最大矩形的相邻两边长应取多长？ 一面靠地如图（二）时，最大矩形的相邻两边长是多少？
图（一）
图（二）
相邻两边各取10cm,
最大面积100cm2
长边取30cm， , 最大面积225cm2
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