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用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以运用初等数学措施来构造和求解模型
尽量采用简单的数学工具来建模
假如用初等和高等的措施建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
第二章 初等模型
第二章
初等模型
双层玻璃窗的功能
划艇比赛的成绩
实物互换
汽车刹车距离与道路通行能力
估计出租车的总数
评比举重总冠军
解读CPI
核军备竞赛
扬帆远航
节水洗衣机
2d
墙
室内 T1
室外 T2
d
d
墙
l
室内 T1
室外 T2
问题
双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失.
假设
热量传播只有传导，没有对流.
T1,T2不变，热传导过程处在稳态.
材料均匀，热传导系数为常数.
建模
热传导定律
Q1
Q2
Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数
双层玻璃窗的功能
双层
单层
d
d
墙
l
室内 T1
室外 T2
Q1
Ta
Tb
记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
Tb~外层玻璃的内侧温度
k1~玻璃的热传导系数
k2~空气的热传导系数
建模
记单层玻璃窗传导的热量Q2
2d
墙
室内 T1
室外 T2
Q2
双层与单层窗传导的热量之比
k1=4~8 10-3 (J/cm·s·kw·h), k2=10-4, k1/k2=16 ~32
对Q1比Q2的减少许作最保守的估计，
取k1/k2 =16
建模
h
Q1/Q2
4
2
O
6
模型应用
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=
即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失.
成果分析
Q1/Q2因此如此小，是由于层间空气的热传导系数k2极低, 而这规定空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
实际上双层窗的功能不会如此之大!
划艇比赛的成绩
赛艇 2000m成绩 t (min)
种类 1 2 3 4 平均
单人
双人
四人
八人
空艇重w0(kg)
桨手数n
对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系. 试建立数学模型揭示这种关系.
问题
准备
调查赛艇的尺寸和质量
l /b, w0/n 基本不变
艇长l 艇宽b l/b
(m) (m)
问题分析
前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力
前进动力 ~ 桨手的划桨功率
分析赛艇速度与桨手数量之间的关系
赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:
划桨
功率
赛艇
速度
前进
动力
前进
阻力
桨手数量
艇
重
浸没
面积
对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.
运用合适的物理定律建立模型.
模型假设
1）艇形状相似(l/b为常数), w0与n成正比
2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比
符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 桨手数 n, 桨手功率 p, 桨手体重 w, 艇重 W.
艇的静态特性
艇的动态特性
3）w相似，p不变，p与w成正比
桨手的特征
模型建立
f sv2,
p w
v (n/s)1/3
s1/2 A1/3,
A W(=w0+nw) n
s n2/3
v n1/9
比赛成绩 t n – 1/9
np fv,
模型检查
n t
1
2
4
8
线性最小二乘法
利用4次均成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验.
与模型吻合！
t
n
1
2
4
8
•
•
•
•
O