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数理金融
数学措施的基本应用原理和应用技巧
一、函数和微积分的应用
二、线性代数的应用
三、随机过程的应用
西方经济学·微观·第2章 1
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第一节 函数和微积分的应用
一、数理金融中的指数和对数函数
（一）持续复利和实际利率
给定本金P，每年以利率i计算复利一次，t年后终值F为：
重要学习函数和微积分在利率分析、边际分析、银行按揭贷款
等方面的应用
假如每年计算复利m次，t年后终值为：
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假如利率为100%，一年内持续计算复利，终值为：
对于非100%的利率r，及非一年的时期t，终值为：
对于负增长率，如折旧或贬值，公式中的i或r为负数。
例：求100元本金，以10%复利两年的终值。
（1）每年计算复利一次（2）六个月计算复利一次
（3）持续复利计算
第一节 函数和微积分的应用
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第一节 函数和微积分的应用
（二）实际利率与名义利率
相似的本金及相似的名义利率但终值不一样，即实际利率不一样
实际利率记为：ie，则
可得：
若为持续复利，m→∞，有：
例：计算上例中三种状况的实际利率
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第一节 函数和微积分的应用
（三）银行按揭贷款
先在银行贷款，然后分期还款；有等额偿还和等本金偿还。
银行按揭可归纳为数学问题：贷款P元，年利率r，分n期等额
偿还，每期应还多少？
一般以一种月为一期，月末偿还，年息为r，月息为i=r/12，设每期偿还A元，则n期还款折现的总和应等于贷款总和，
有现值公式知：
上式又成为资金还原公式，后一种体现式成为资金还原系数
常用（A/P，i，n）表达，可查福利表计算
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第一节 函数和微积分的应用
例：某人贷款金额为20万元，年利息为6%，计划办理5年银行按揭，每月月末影响银行还款多少？
问题（1）还款总数为多少？
（2）所付利息总额为多少？
（3）若为月初还款，怎样计算？
（4）若遇到利息调整，怎样计算？
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第一节 函数和微积分的应用
（四）分期付款
（1）成交时取货，企业需计算现值
（2）货款付清后取货，消费者计算终值
（3）向银行借款购置商品，后来分期偿还
（4）分期付款在中途变更付款条件
例：汽车每辆销售价100000元，成交时付款34000元，其他的分11个月付款，即每月6000元，%求其现值。
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第一节 函数和微积分的应用
（五）银行贴现
企业间存在商业信用，企业可以签发远期汇票，当未到期汇票
的持有者向银行规定兑现，就需要计算贴息额和兑现额
设票面金额为S，离到期时间为n天，曰息为R，则应的兑现额：
银行实际业务贴付利息和实得兑现额为：
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第一节 函数和微积分的应用
例：面值5000元的汇票，20天后到期，%，
求贴息额与兑现额
应贴利息：
实贴利息：20
实际兑现额：4980
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第一节 函数和微积分的应用
（六）运用指数、对数函数计算时间最优问题
例：为投资买入的土地如下面的公式增值：
，为使土地的现值最大，应持有多久？
求解此问题的关键是求出现值P。
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