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2025年离散数学的实验教学探讨（合集篇）
篇1：离散数学的实验教学探讨
离散数学的实验教学探讨
离散数学是计算机专业的一门很重要的`专业基础课,该课程概念多,理论性强,,、课程实验体系建设、实际应用等方面入手,强化实验教学,培养学生学习兴趣,提高学生的应用能力.
作 者：沈来信 杨帆 Shen Laixin Yang Fan  作者单位：黄山学院信息工程学院,安徽,黄山,245021 刊 名：黄山学院学报 英文刊名：JOURNAL OF HUANGSHAN UNIVERSITY 年，卷(期)： 11(3) 分类号： 关键词：离散数学   实验教学   课程实验   应用能力  
篇2：离散数学证明题
证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,c分下面两种情况讨论:
⑴b≤a或c≤a
⑵a≤b且a≤c
如果是第⑴种情况,则a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c)
如果是第⑵种情况,则a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c)
无论那种情况分配律均成立,故A是分配格.
(一次插值)
已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。
1. 插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:
记
并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：
从而
P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)
此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .
例1: 已知lg10=1,lg20=, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。
解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=, 设
x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =
则插值基函数为：
于是, 拉格朗日型一次插值多项式为:
故 :
即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=).
已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式P2 (x), 使其满足,
P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 .
其几何意义为:已知平面上的三个点
(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),
求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。
有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式，要求满足：
(1) 基本多项式为二次多项式; (2) 它们的函数值满足下表：
因为lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍, 可设
lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),
又因为
lk-1 (xk-1 )=1 ==>a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1
得
从而
同理得
基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。
2. 拉格朗日型二次插值多项式
由前述, 拉格朗日型二次插值多项式:
P2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),P2 (x)
是三个二次插值多项式的`线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:
P2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。
例2 已知：
xi 10 15 20
yi=lgxi 1
利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。
解：设x0 =10,x1 =15,x2 =20,则:
故:
所以
7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=,具有3位有效数字,精度提高了。
三、拉格朗日型n次插值多项式
已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1 ,…,x2 上的函数值分别为
y0 ,y1 ,…,yn ,求一个次数不超过n的多项式Pn (x),使其满足:
Pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),
即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
1. 插值基函数
过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数
l0 (x),l1 (x),…,ln (X)
每个插值基本多项式li (x)满足：
(1) li (x)是n次多项式;
(2) li (xi )=1,而在其它n个li (xk )=0 ,(k≠i)。
由于li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:
(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:
li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
由li (xi )=1,可以定出a, 进而得到：
2. n次拉格朗日型插值多项式Pn (x)
Pn (x)是n+1个n次插值基本多项式l0 (x),l1 (x),…,ln (X)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1 ,…,yn 。即:
Pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) ,
从而Pn (x)是一个次数不超过n的多项式,且满足
Pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).
例3 求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。
解 用4次插值多项式对5个点插值。
所以
四、拉格朗日插值多项式的截断误差
我们在[a,b]上用多项式Pn (x) 来近似代替函数f(x), 其截断误差记作
Rn (x)=f(x)-Pn (x)
当x在插值结点xi 上时Rn (xi )=f(xi )-P n(xi )=0,下面来估计截断误差：
定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n) =f(n) (x)在[a,b]上连续，
y(n+1) = f(n+1) (x)
在(a,b)上存在;插值结点为:
a≤x0
Pn (x)是n次拉格朗日插值多项式;则对任意x∈[a,b]有：
其中ξ∈(a,b), ξ依赖于x：ωn+1 (x)=(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )
证明：由插值多项式的要求：
Rn(xi )=f(xi )-Pn (xi )=0，(i=0,1,2,…,n);
设
Rn (x)=K(x)(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )=K(x)ωn+1 (x)
其中K(x)是待定系数;固定x∈[a,b]且x≠xk ，k=0,1,2,…,n;作函数
H(t)=f(t)-Pn (t)-K(x)(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )
则 H(xk )=0，(k=0,1,2,…,n), 且H(x)=f(x)-Pn (x)-Rn(x)=0, 所以，
H(t)在[a,b]上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理:存在ξ∈(a,b),
使; 因Pn (x)是n次多项式，故P(n+1) (ξ)=0, 而
ωn+1 (t)=(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )
是首项系数为1的n+1次多项式，故有
于是
H(n+1) (ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!K(x)
得：
所以
设 , 则：
易知，线性插值的截断误差为:
二次插值的截断误差为:
下面来分析前面两个例子(例1，例2)中计算lg12的截断误差：
在例1中，用lg10和lg20计算lg12,
P1(12)=,lg12=
e=|-|=;
估计误差：f(x)=lgx,
,当x∈[10,20]时,
2
篇3：大学离散数学怎么学
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是大学里面的重要科目，那么应该怎样学好呢?
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。由于离散数学在计算机科学中的重要性，因此，许多大学都把它作为研究生入学考试的专业课程中的一门，或者是一门中的一部分。
作为计算机系的一门课程，离散数学有与其它课程相通相似的部分，当然也有它自身的特点，现在我们就它作为考试内容时具有的特点作一个简要的分析。
1、定义和定理多。
离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
在考试中的一部分内容就是考察大家对定义和定理的识记、理解和运用。如上海交通大学的试题，问什么是相容关系。如果知道的话，很容易得分;如果不清楚，那么无论如何也得不到分数的。这类型题目往往因其难度低而在复习中被忽视。实际上这是一种相当错误的认识，在研究生入学考试的专业课试题中，经常出现直接考查对某知识点的识记的题目。对于这种题目，考生应该能够准确、全面、完整地再现此知识点。任何的模糊和遗漏，都会造成极为可惜的失分。我们建议读者，在复忆，务必以上面提到的“准确、全面、完整”为标准来要求自己，不能达到，就说明还不过关，还要下工夫。关于这一点，在后续章节中我们仍然会强调，使之贯穿于整个离散数学的复习过程中。
离散数学的定义主要分布在集合论的关系和函数部分，还有代数系统的群、环、域、格和布尔代数中。一定要很好地识记和理解。
2、有穷性。
由于离散数学较为“呆板”，出新题比较困难，不管什么考试，许多题目是陈题，或者稍作变化的来的。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”如果拿到一本习题集，从头到尾做过，甚至背会的话。那么，在考场上就会发现绝大多数题见过或似曾相识。这时，要取得较好的成绩也就不是太难的事情了。
本书是专门针对研究生入学考试而编写的，适合于读者对研究生入学考试的复习。如果还有时间的话，我们可以推荐两本习题集。一本是左孝凌老师等编写的《离散数学理论、分析、题解》，另一套有三本，是耿素云老师等编写的《离散数学习题集》。这两套书大多数题都是相同的，只是由于某些符号和定义的不同，使得题目的设定和解法有些不同而已。
离散数学学科内容
:集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数
:图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用
:代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数
:组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理
:命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理
离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。教学方式以课堂讲授为主， 课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
篇4：离散数学的教学探讨
离散数学的教学探讨
离散数学是计算机科学与技术专业的'一门重要的专业基础课程,该课程概念多,理论性强,,,如何提高离散数学课程的教学水平和质量,,从教学方法和教学手段等方面进行了一些初步探讨.
作 者：廖仲春 LIAO Zhong-chun  作者单位：长沙民政学院,湖南,长沙,410004 刊 名：湖南工业职业技术学院学报 英文刊名：JOURNAL OF HUNAN INDUSTRY POLYTECHNIC 年，卷(期)： 8(5) 分类号：H319 关键词：离散数学   教学方法   教学手段  
篇5：浅谈离散数学的学习心得
浅谈离散数学的学习心得
离散数学是这个学期我们新开的一门课程，刚开始学习这门功课，就一个感觉怪！比如这样的一个命题：2是整数那么北京是中国的首都。这个看似一点都不着边的命题，根据离散数学的规则，这却是一个合法的真命题。真叫人是诧异！(我想只要有点逻辑的人都会这么想的) 为此，我对离散数学这种没逻辑的学科而感冒了，甚至觉得这是个基本没用的科目。没兴趣是一回事，学忆中。从命题到联接词的完备集，我都只是停留在表面的记忆之中的，只知道套用公式即可。但从理论推理这小节开始，我逐步发现以前看似定义与实际没关系的内容现在似乎与现实的推理相互牵连在了一起，通过将现实的事件转化成符号，运用一些推理规则比如P TCP规则，加上联接词判断正误的方法，一些将的逻辑推也是可以进行的.，对此我十分的好奇，有种想探索和研究的想法(其实就是再仔细的去体会下书本中概念)。
有句话说的好，书读百遍其义自现。其实自己也就是在无聊的时候再做了一次无聊复习而已。最近学习的谓词逻辑中，起初我并不知道它到底要谈些啥玩意，将命题拆了几大块，又莫名奇妙将这些小块用联结词组合在一起，还对它们进行一系列的判断，越学越没想法。也许是自己太笨了吧，其实在这一章的第一页的引言中就有一个突出主题的一段话，那就是--著名的苏格拉底三段论：所有人是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底是要死的。这句话看是平淡无奇，其实它就解释了为何要研究谓词逻辑的原因。
我们回过头来再去细读离散数学中的每句话，其实开头的定义是为以后的推理进行准备的，为何我们会觉得很难去体会这样一个东西?原因其实很简单：抽象的东西往往是脱离实际的，有时近乎残酷的摆脱现实中一些实实在在的物质的，它近乎无情的定义将他们进行规定，就是在前人的一步一步的理论修正过程中，理论被变得完善，再用于刻画现实中的一些东西时，它就变得普遍符合。这也许就是很多人刚开始觉得学离散数学没用的原因。有些东西看似没用或不符合真理，但它经过修饰和一系列的规定它就成了一个真理，看待问题有时得从整体出发。