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赋范空间
内积空间
正交多项式的性质
常用正交多项式
最佳平方迫近问题
曲线拟合的最小二乘法
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6 曲线拟合的最小二乘法
背景：
离散数据的特点
数据不精确
数据多,甚至是是大量的
数据采样一般基本上反应函数的基本性态
离散数据建模措施
插值法：通过离散点，高次插值不可靠，分段插值不够光滑
曲线拟合：曲线符合离散点分布的基本轮廓，或符合某理论规律，不规定曲线精确通过每一离散点。
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曲线拟合的过程
造型：通过作图分析或直接根据物理规律选用合适的曲线类型，即拟合模型：
待定参数数目n一般远不不小于节点数目m.
线性拟合模型：
非线性拟合模型：
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（拟合过程续）
选择最佳的曲线
根据某种原则选择一条“最佳”的简单曲线作为离散数据
的持续模型。
原则：拟合残差向量r的某种范数最小.
残差向量 r=(r0,r1,…,rm)T=r(c0,c1,…,cn)
第j个节点的残差
范数：正数ωj是第j个采样点处的权。
切比雪夫意义下的曲线拟合
最小二乘意义下的曲线拟合
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（拟合过程续）
总结
切比雪夫意义下的曲线拟合模型
最小二乘意义下的曲线拟合模型
确定函数类的一种措施：多项式（简单，Weierstrass Th. Page 89，可行，不是最有效的)
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最小二乘法拟合模型的求解
问题的矩阵形式表述
法方程组
平方误差
法方程组系数矩阵（Gram矩阵）的表达
矛盾方程以及加号逆
举例
基于离散正交多项式的最小二乘拟合
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最小二乘问题的矩阵形式表述
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（矩阵表述续）
最小二乘问题等价于
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（矩阵表述续）
离散Gram矩阵
最小二乘问题等价于
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假如离散Gram矩阵是实正定对称矩阵, 则向量 使得二次函数I(C)取最小值的充足必要条件是向量 是线性方程组 GnC=Y 的解向量.
Remark 1 当Gn是实对称正定矩阵时,det(Gn)0 ,定理中的线性方程组的解向量是存在惟一的, 此时最小二乘曲线拟合问题有惟一的解函数. 称定理中的方程组为线性空间上最小二乘问题的法方程组.
法方程组
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