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§1 波函数的记录解释
§2 态叠加原理
§3 力学量的平均值和算符的引进
§4 Schrodinger 方程
§5 粒子流密度和粒子数守恒定律
§6 定态Schrodinger方程
§1 波函数的记录解释
（一）波函数
（二）波函数的解释
（三）波函数的性质
3个问题？
描写自由粒子的平 面 波
假如粒子处在随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不一样步为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
描写粒子状态的波函数，它一般是一种复函数。
称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？
(2) 怎样体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
（一）波函数
电子源
感光屏
（1）两种错误的见解
1. 波由粒子构成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
这种见解是与试验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射试验。
电子一种一种的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增长展现出衍射花纹。这阐明电子的波动性并不是许多电子在空间汇集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
波由粒子构成的见解夸张了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
P
P
O
Q
Q
O
实际上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一种电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样某些量子现象。
2. 粒子由波构成
电子是波包。把电子波当作是电子的某种实际构造，是三维空间中持续分布的某种物质波包。因此展现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是多种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充斥整个空间，这是由于平面波振幅与位置无关。假如粒子由波构成，那么自由粒子将充斥整个空间，这是没故意义的，与试验事实相矛盾。
试验上观测到的电子，总是处在一种小区域内。例如在一种原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 不过我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概念中 ;
波意味着 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;
电子源
感光屏
Q
Q
O
P
P
我们再看一下电子的衍射试验
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
结论：衍射试验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一种试验中的记录成果，或者是一种电子在许多次相似试验中的记录成果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的记录解释。
r 点附近衍射把戏的强度
正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出目前 r 点附近的几率。
在电子衍射试验中，摄影底片上
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反应微观客体运 动的一 种记录规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不一样。
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出目前 r 点附近几率的大小， 确切的说， |Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表达在 r 点处，体积元Δx Δy Δz中 找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，
（三）波函数的性质
在 t 时刻， r 点，d τ = dx dy dz 体积内，找到由波函数 Ψ (r,t) 描写的粒子的几率是：
d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ，其中C是比例系数。
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
（1）几率和几率密度
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：
ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2
称为几率密度。
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：
W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭状况），因此在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ
这即是规定描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
若
∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ∞, 则 C 0, 这是没故意义的。
注意：自由粒子波函数
不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。