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素养拓展之图形规律—重点题型专练
总述一般的解题步骤：
1. 观察图形特征，明确分析方向：
先分类观察：
统计图形的数量类： 点、线、面、角 的个数（如交点数、边数、
封闭区域数）。位置类：注意图形的 平移、旋转、对称 等变换
规律（如旋转角度、对称轴方向）。
形状类：分析图形的 相似性、嵌套关系（如大图形包含小图形，
且小图形形状周期性变化）。
颜色类：记录图形的 颜色分布、填充规律（如黑白交替、相邻
图形颜色互补）。
再标记特殊图形：圈出重复出现的 基础图形或关键元素（如三
角形、圆形）。
2. 分析规律，建立数学模型
分析数量规律、位置规律或组合规律：分析图形间的叠加、去同
存异、去异存同关系（如两个图形叠加后保留不同部分）。
常见的数列通用公式和求和公式如下：
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3. 验证猜想，推导通项
多组验证：用前 3 - 4 组图形检验规律的准确性。
转化为代数表达：将图形规律用含 n 的代数式表示。
图形规律类问题的解题策略核心是 “数形结合，化繁为简”，通
过对图形多维度特征的细致观察，将视觉信息转化为数学关系，
进而归纳出通用规律。
题型 1 图形规律—等差型
1．在物理学的光学实验中，使用特殊的光源装置会在光屏上形
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成由光点组成的图案．现有一系列图案，均是由完全相同的光点
按照一定规律组成．如图，第①个图案中一共有 5 个光点，可
用于模拟某种简单的光衍射现象；第②个图案中一共有 8 个光
点，对应另一种光学干涉效果；第③个图案中一共有 11 个光点，
代表着又一种光的传播现象．按照这样的规律排列下去，求第⑩
个图案中光点的个数是（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
2．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”与线段按照一定规律
摆成下列图案，其中第①个图案用了 6 个“·＂，第②个图案用了
11 个“·”，第③个图案用了 16 个“·”，第④个图案用了 21 个
“·”，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案用的“•”个数是（ ）
A．48 B．46 C．41 D．40
3．化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数
为1 10- 时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、
癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则壬烷
分子结构式中“H” 的个数是 ．
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4．如图是由圆圈摆成的图案，按此规律摆放，第n 个图案中圆圈
的个数是 ．
5．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类
物质前 4 种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白
球代表氢原子．第 1 种如图①有 1 个碳原子，4 个氢原子；第 2
种如图②有 2 个碳原子，6 个氢原子；第3 种如图③有 3 个碳原
子，8 个氢原子；
(1)按照这一规律，第 10 种化合物的分子结构模型中氢原子的个
数是________个；第n 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数
是________个；
(2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型
中有 2031 个氢原子？请说明理由．
6．在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次 “归纳”的过程，
即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课
上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有 30 个点（任意三
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点不共线），将这30 个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形
分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先
从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1 个点、2 个点、3
个点…的情形（如下图）：
填写数据：
三角形内点
1 2 3 4 5 …
的个数
分割成的三
3 5 7 a 11 …
角形的个数
再分别研究四边形、五边形、六边形…内有 1 个点、2 个点、3
个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题：
(1)表中a = ；
(2)发现规律，当三角形内点的个数增加 1，分割成三角形的个数
就会增加 个：当三角形内有 n 个点时，分割成 个三角形；
(3)当三角形内有 30 个点时，分割成多少个三角形？原三角形被
若干个点分割成三角形的个数可以是 2024 个吗？为什么？
(4)直接写出当四边形内有 30 个点时，分割成多少个三角形？当
十二边形内有 30 个点时，分割成多少个三角形？
题型 2 图形规律—平方型
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7．如图，某数学兴趣小组用同样大小的围棋子按照一定规律排
列成下图，其中，图 1 中有 5 颗围棋子，图 2 中有 8 颗围棋子，
图 3 中有 13 颗围棋子，图4 中有 20 颗围棋子，按照此规律排列
下去，则图⑦中有（ ）颗围棋子
A．29 B．40 C．53 D．56
8．如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第 1 个正方形需
要 4 个小正方形，拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形…….拼一
拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n 个正方形比第n-1个正
方形多（ ）
2
A．n-1 个小正方形B．2 1n- 个小正方形
2 1n+ n n2 + 2
C． 个小正方形D． 个小正方形
9．如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其
中第 1 个图形中有 5 朵梅花，第2 个图形中有 8 朵梅花，第3 个
图形中有 13 朵梅花，第 4 个图形中有 20 朵梅花……依此规律，
第 n 个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n 的代数式表示）
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10．汉字文化源远流长，现在它以一种独特的方式融入了我们的
日常消费生活．以下是一系列由相同大小的圆点和线段组成的图
形，它们按照某种特定的规律排列，形成了篆书简化“文”字的形
状．其中，图①中共有7 个圆点，图②中共有14个圆点，图③中
共有23个圆点，图④中共有34个圆点L，依此规律，则图⑧中共
有圆点的个数是 ．
11．平移小平行四边形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四
个图案是由小平行四边形 ◇平移后得到的类似 “中国结”的图案，
按图中规律，在第n 个图案中，小平行四边形◇的个数是 个．
12．如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律
摆成下列图形，第 1 个图案中“●”的个数为 3，第 2 个图案中“●”
的个数为 8，第 3 个图案中“●”的个数为 15，…，以此类推．
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(1)第 5 个图案中“●”的个数是________．
(2)请用含 n 的代数式表示第 n 个图案中“●”的个数．
(3)请用含 n 的代数式表示第 n 个图案中最长的线段上“●”的个数．
题型 3 图形规律—求和型
13．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第
一行有 1 个点，第二行有 2 个点，……第n 行有n 个点，前n 行的
点数和不可能是以下哪个结果（ ）
A．210 B．100 C．78 D．45
14．观察图形的规律，第①个图形中共有 3 个小黑点，第②个
图形中共有 9 个小黑点，第③个图形中共有 18 个小黑点，按照
此规律第⑥个图形中共有（ ）个小黑点
A．54 B．63 C．84 D．90
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15．有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，如图
是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图 ①是由 3 个苯环组成，
图②是由 6 个苯环组成，．．．，依此规律，图⑦中苯环的个数为
（　　）
A．34 个 B．35 个 C．36 个 D．37 个
16．把 3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这
些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第 6 个三角形数
是 ．
17．【观察思考】
将大小形状完全相同的“▲”和“★”按如图所示的规律依次摆放，
归纳图形中的规律，解决下列问题．
【规律发现】
请用含n 的式子填空：
1
（1）第 1 个图案中，“▲”的数量有： ´´+1 2 1；
2
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1
第 2 个图案中，“▲”的数量有： ´´+2 3 1；
2
1
第3 个图案中，“▲”的数量有： ´´+3 4 1，
2
…，
第n 个图案中，“▲”的数量有：______；
1
（2）第 1 个图案中，“★”的数量有： ´´-2 3 1；
2
1
第2 个图案中，“★”的数量有： ´´-3 4 1；
2
1
第3 个图案中，“★”的数量有： ´´-4 5 1，
2
…，
第n 个图案中，“★”的数量有：______；
【规律应用】
（3）第n 个图案中，“▲”和“★”的数量之和为 225，求n 的值．
n n1+ 
18．【问题呈现】我们知道，1 2 3++++= n ，那么如何求
2
1 2 33 3 3 3++++ L n
的值？
【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系：
【归纳猜想】
（1）1 2 3 4 53 3 3 3 3++++= ______．
2 1 2 3 43 3 3 3 3+++++= L n ______
（ ） ．
【拓展应用】
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3 11 12 13 203 3 3 3++++ L
（ ）求 的值．
题型 4 图形规律—周期型
19．如图，正方形 ABCD的边长为1，电子蚂蚁P 从点A 以1 个单
位长度/秒的速度沿正方形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁Q从点
A 以3 个单位长度/秒的速度沿正方形的边逆时针运动，则电子蚂
蚁P 和Q第2025 次相遇在（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
20．五边形的顶点依次编号为 1，2，3，4，5．若从某一顶点开
始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就
走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3
的顶点上时，那么他应走 3 个边长，即从3 4 5 1®®® 为第一次“移
位”，这时他到达编号为1 的顶点；然后从1 2® 为第二次“移位”．若
小宇从编号为 4 的顶点开始，第 2019 次“移位”后，那么他所处
的顶点的编号是（ ）
A．1 B．2 C．3