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(完整word)数列专题2 求数列的通项公式,方法,习题,答案。
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数列专题2 求数列的通项公式
一．等差数列的性质:
1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0.
Sn/n=d/2 *n+a1—d/2,故数列{Sn/n}是等差数列。
an=An+B，SN=An2+Bn, 数列为等差数列
2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
3．当时，则有，特别地，当时，则有.
二。等比数列的性质：
（1)当时，则有，特别地，当时，则有。如
（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___(答：512）;
（2） 当时，，这里，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列,且,则＝ （答：－1）
Sn=aqn-a数列为等比数列.
三、数列通项的求法：
⑴公式法：
①等差数列通项公式；②:__________（答：）
⑵已知（即）求，用作差法：。
如：①已知的前项和满足，求 （答：）；
②数列满足,求 （答:）
⑶已知求,用作商法：。
如数列中，对所有的都有,则______ （答：）
⑷若求用累加法：。
如已知数列满足,，则=________（答:)
⑸已知求，用累乘法：。如已知数列中，,前项和,若，求 （答：）
注意：（1)用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时,常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式,然后再求解.
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如数列满足，求 (答：）
四、
1、已知数列递推式求,用构造法（构造等差、等比数列）:
形如，,,an=kan-1+an（，a为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求。
⑴ 转化为:an+x=K(an—1+x） 求出X=b/（k-1)，k=1时无解，｛an｝为等差数列，
d=b，可以直接写出。
已知,求(答:）；
⑵an=Kan-1+AbN 转化为:an+xbN=K(an-1+xbN-1) 求出X=A/（k/b—1）,k=b时无解，{an/bn}为等差
数列,d=A,可以直接写出.
已知，求(答：）
⑶转化为:an+An+B=K（an—1+A(n—1）+B） 求出A= a/（k-1),B=b/（k-1）+ka/（k—1）2，
k=1 时无解，只能用累加法。
⑷ an=kan—1+ 转化为：an+A（n+1)+B=K（an—1+An+B） 同上，求出A ,B（必须设出B，它不为0）
形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项。
如①已知，求(答:）；
②已知数列满足=1，，求（答:）
3、数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；
②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法。
例1:已知数列满足，求数列的通项公式。
解：法一：等比数列法：设 ④
将代入④式,得，
等式两边消去，得,两边除以,得
代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则,则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列
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是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
法二：累加法：，两边同除以2n+1得到：
an+1/2n+1 -an/2n =（3/2）×
an/2n -an—1/2n-1 =（3/2）×（5/2）n—1 ①
.。。。。。。。。.。。.。。。。。.。。..。.。。。..。。。。。。。。。
a3/23 -a2/22 =（3/2）×(5/2）2 ②
a2/22 —a1/21 =（3/2)×(5/2）1 ③
以上式子想家得到：an/2n -a1/21 =(3/2)×(5/2）1 + （3/2)×（5/2）2 +。。...。（3/2)×(5/2)n—1
=3/2（（5/2）（5/2)n—1—1）/(5/2—1)整理后答案同上.
例2. 已知数列的前n项和Sn满足
（Ⅰ）写出数列的前3项
(Ⅱ)求数列的通项公式．
解:⑴当n=1时，有：S1=a1=2a1+(—1) a1=1;
当n=2时,有:S2=a1+a2=2a2+（—1）2a2=0；
当n=3时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1）3a3=2；
综上可知a1=1，a2=0，a3=2；
⑵由已知得：
化简得：
上式可化为：
故数列｛}是以为首项， 公比为2的等比数列。
故 ∴
数列{｝的通项公式为：.
例3．已知数列｛}中，，。求数列
【解析】依题有，即，可变形为
，可知数列是以为首项,为公比的等比数列。从而
练习题：
1、已知,求（答：）；
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2、已知，求(答：）;
3、已知｛}是递增数列，且对任意n∈N＊，都有恒成立, 则实数γ的取值范围是
A。γ>0 B。γ<0 ＝０ 〉—3
解3、D 依题意，恒成立,。
则2n+1+γ〉0γ>-（2n+1)恒成立，-(2n+1）≤-3，故满足条件的γ的取值范围是γ>-3。
4. 设数列{an}的前项的和Sn=（an-1） （n)．
（Ⅰ)求a1；a2； (Ⅱ）求证数列｛an}为等比数列．
1。 解: （Ⅰ）由,得 ∴ 又,即，得。
（Ⅱ）当n〉1时,
得所以是首项,公比为的等比数列．
5。 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的
前n项和为,点均在函数的图像上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
解:(Ⅰ）设这二次函数f（x)＝ax2+bx (a≠0) ，则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x）=6x－2,得
a=3 ， b=－2, 所以 f（x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5。
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 ().
6。已知数列的前n项和Sn满足
（Ⅰ)写出数列的前3项
(Ⅱ）求数列的通项公式．
解:⑴当n=1时，有：S1=a1=2a1+（-1） a1=1；
当n=2时，有：S2=a1+a2=2a2+(-1）2a2=0;
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当n=3时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1）3a3=2；
综上可知a1=1，a2=0，a3=2;
⑵由已知得：
化简得：
上式可化为：
故数列{｝是以为首项， 公比为2的等比数列。
故 ∴
数列｛}的通项公式为：.
已知数列满足，,求数列的通项公式。
本题若用等比数列法:an+1+x2n=2（an+x2n—1） an+1+x2n=2(an+x2n-1）=2an+2x2n—1=2an+x2n,解不出x
解：两边除以，得，则，
故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,得，所以数列的通项公式为.
已知数列满足，求数列的通项公式.
解：由得则
所以数列的通项公式为
已知数列满足，求数列的通项公式。
解:由得
则
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所以
已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以,得 ,
则,故
因此，则
已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则,
则
所以数列的通项公式为：
12、已知：，,求数列的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
所以②式－①式得 则 则
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所以 ③
由，取n=2得，则，又知，则，代入③得 ：
13、设数列满足，．
(Ⅰ）求数列的通项;
14、已知: ，a0，求数列的通项公式。
方法（1）:构造公比为—2的等比数列，用待定系数法可知．
方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以 得：，从而可以用累加的方法处理．
方法（3)：直接用迭代的方法处理: