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(完整word版)空间几何向量法之点到平面的距离
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空间几何向量法之点到平面的距离
1。要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤:
找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；
求出该平面的法向量;
求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这就是该店到平面的距离.
例子：点到面的距离(注：AB为点A的斜向量，是面的法向量,点是面内任意一点。)
（向量法)
体积公式：
1、柱体体积公式：
2、椎体体积公式：
3、球体体积公式:
课后练习题
z
O
A
D
C
B
x
y
M
例题：在三棱锥B—ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=300，求点D到平面ABC的距离。
要求平面外一点P到平面的距离,
可以在平面内任取一点A,则点P到平面的距离即为d=
建立如图空间直角坐标系，则A（），B()，C（），D（
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∴，，
设=（x，y,z）为平面的一个法向量,则
∴ ,可取
代入得，，即点D到平面ABC的距离是。
1。 已知A(2,3，1）、B(4,1,2）、C（6，3，7)、D（—5,—4,8)是空间不共面的四点，求点D到平面ABC的距离。
解：设是平面ABC的一个法向量，则由及,得
,取x=3,得，于是点D到平面ABC的距离为d==
=。
2。已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.
解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，则G（0，0,2）,E（2,4，0）,B(0,4,0), F(4, 2,0），∴=(2，4，—2)，
=（4,2，—2），=(2，0,0）。
设平面EFG的一个法向量为，则由及，得
，取y=1，得,于是点B到平面EFG的距离为d==。
-ABCD中，求点C到平面ABD的距离。
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解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0,1)，B(1,1,0），C (0， 1,1）.
设平面ABD的一个法向量为，则由及，得
，取x=—1,得=(—1，1, 1),于是点C到平面ABD的距离为d===.
,四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,求点E到平面ACD的距离。
解：由题设易知AO⊥BD，OC⊥BD，∴OA=1，OC=，∴OA+OC=AC，∴∠AOC=90，即OA⊥OC。
以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，则A(0,0,1）,B（1，0，0）,C(0, ，0)，D（-1，0,0）,∴
E（，，0), =（—1,0，—1)， =（0, ,—1), =（-，-,0）。
设平面ACD的一个法向量为，则由及，得
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，取z=，得=(-，1, )，于是点E到平面ACD的距离为d===.
5. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分别是A1C1、BC1的中点．
（Ⅰ)求证:BC1⊥平面A1B1C;
（Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1；
(Ⅲ)求三棱锥M－BC1B1的体积．
（Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1，∴B1B⊥A1B1．
又B1C1⊥A1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴BC1⊥A1B1．
∵BB1＝CB＝2，∴BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面A1B1C．
（Ⅱ)连接A1B，由M、N分别为A1C1、BC1的中点，得MN∥A1B,
又A1B平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴MN∥平面A1ABB1．
（Ⅲ)取C1B1中点H，连结MH．
∵M是A1C1的中点，∴MH∥A1B1，
又A1B1⊥平面BCC1B1，∴MH⊥平面BCC1B1，∴MH是三棱锥M－BC1B1的高，
∴三棱锥M－BC1B1的体积
6。 如图，在三棱柱中，,
,为中点，且
（1)求证：
（2）求证:∥平面
（3）求三棱椎的体积
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7。 如图,在棱长为2的正方体中，分别为的中点。
(1)求证:∥平面 （2)求证
(2）求三棱锥的体积。