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信号的时域分解与卷积积分
卷积的图解法
卷积积分
卷积积分
一、信号的时域分解与卷积积分
1 .信号的时域分解
(1) 预备知识
问 f1(t) = ? p(t)
直观看出
卷积积分
(2) 任意信号分解
“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为△，用p(t)表达为：f(0) △ p(t)
“1”号脉冲高度f(△) ,宽度为△，用p(t - △)表达为：
f(△) △ p(t - △)
“-1”号脉冲高度f(-△) 、宽度为△，用p(t +△)表达为：
f ( - △) △ p(t + △)
卷积积分
2 .任意信号作用下的零状态响应
yzs(t)
f (t)
根据h(t)的定义：
δ(t)
h(t)
由时不变性：
δ(t -τ)
h(t -τ)
f (τ)δ(t -τ)
由齐次性：
f (τ) h(t -τ)
由叠加性：
‖
f (t)
‖
yzs(t)
卷积积分
卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为
f(t)= f1(t)*f2(t)
注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。成果仍为t 的函数。
卷积积分
例：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求yzs(t)。
解：采用定义法卷积。
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
卷积积分
用定义法计算卷积积分环节：
（1）换元： f1(t) → f1(τ)， f2(t) → f2(t－τ)
（2）视状况变积分限： f1(τ) f2(t-τ) 中与否具有ε(τ ) 或ε (t－τ)，假如有ε(τ ) ，则将积分下限换为0，假如有ε (t－τ)，则将积分上限换为t(注意： t为参变量，τ为自变量) 。
（3）积分： 与一般函数积分一致。
卷积积分
二、卷积的图解法
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ)
（2）反转平移：
由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ)
（3）乘积： f1(τ) f2(t-τ)
（4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
注意：t为参变量。
用图解法计算卷积积分环节：
卷积积分
例：f (t) ,h(t) 如图，求yzs(t)= f (t) * h(t) 。
解：采用图解法卷积。
h ( t -τ)
h(τ)反折
h (-τ)平移t
① t < 0时 , h ( t -τ)向左移
h( t -τ) f(τ) = 0，故 yzs(t) = 0
② 0≤t ≤1 时, h ( t -τ)向右移
③ 1≤t ≤2时
⑤ 3≤t 时
h ( t -τ) f(τ) = 0，故 yzs(t) = 0
f(t)函数形式复杂 换元为f(τ)。
h(t)换元 h (τ)
④ 2≤t ≤3 时
0
h(t－τ)
h(－τ)
f(τ)h(t－τ)
卷积积分
图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较以便的。确定积分的上下限是关键。
例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？
f1(-τ)
f1(2-τ)
解：
（1）换元
（2） f1(τ)得f1(–τ)
（3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ)
（4） f1(2–τ)乘f2(τ)
（5）积分，得f(2) = 0（面积为0）