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课 题
二次根式全章综合复习
学习目标
1、理解二次根式的概念,并利用（a≥0）的意义解答具体题目
理解(a≥0）是一个非负数和(）2=a（a≥0）并利用它们进行计算和化简
3、二次根式的运算与化简求值
学习重点
二次根式的性质及其运算
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义:
形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时，才9有意义．
【典型例题】
例1、下列各式1），其中是二次根式的是_________(填序号）．
练习：
1、下列各式中,一定是二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、在、、、、中是二次根式的个数有______个
例2、若式子有意义，则x的取值范围是 ．［来源:学*科*网Z*X*X*K]
练习：
1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、x〉3 B、x≥3 C、 x〉4 D 、x≥3且x≠4
2、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
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例3、若y=++2009，则x+y=
练习:
1、若,则x－y的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
2、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。
例4、已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值.
练习：
1、若的整数部分是a,小数部分是b，则 。
2、若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.
知识点二:二次根式的性质
【知识要点】
1。 非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2。 ．
注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3.
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注意:(1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式与的区别与联系
（1)表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）和的运算结果都是非负的．
【典型例题】
例4、若则 ．
练习:
1、已知为实数，且，则的值为（ )
A．3 B．– 3 C．1 D．– 1
2、已知直角三角形两边x、y的长满足|x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿。
3、若与互为相反数，则.
4、 已知的值。
(公式的运用）
例6、化简：的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
练习：
1、在实数范围内分解因式: = ;=
2、化简：
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（公式的应用)
例7、已知,则化简的结果是
A、 B、 C、 D、
练习：
已知a〈0，那么│－2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
2、若a－3＜0，则化简的结果是（ ）
（A） －1 （B） 1 (C） 2a－7 (D） 7－2a
3、当a＜l且a≠0时,化简＝ ．
4、已知,化简求值：
例8、如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
练习：
1、实数在数轴上的位置如图所示：化简：．2、已知实数a,b在数轴上的位置如图,化简：
例9、已知a、b、c为△ABC的三边长，化简
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练习：在△ABC中,a、b、c是三角形的三边长，化简
例10、化简的结果是2x—5,则x的取值范围是( ）
（A)x为任意实数 （B）≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
练习：
1、若代数式的值是常数，则的取值范围是（ )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
2、如果，那么a的取值范围是（ ）
A. a=0 B。 a=1 C. a=0或a=1 D。 a≤1
3、若，则的取值范围是（ )
（A） (B) （C） (D）
4、化简二次根式的结果是
(A） (B） （C) （D)
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式:
(1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．
2、同类二次根式(可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
例11、在根式1) ，最简二次根式是（ )
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A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1） 4)
练习：
1、中的最简二次根式是 。
2、下列根式不是最简二次根式的是（ )
A。 B。 C. D。
3、把下列各式化为最简二次根式：
(1) (2) (3）
例12、下列根式中能与是合并的是（ )
A. B. D.
练习:
1、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式, 则a=__________。
知识点四：分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如:，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式.
【典型例题】
例13、 把下列各式分母有理化 （1） （2) （3）
练习：
把下列各式分母有理化：
知识点五：二次根式的乘除
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【知识要点】
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·(a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
=（a≥0,b〉0）
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=（a≥0，b〉0）
【典型例题】
例14、能使等式成立的的x的取值范围是( ）
A、 B、 C、 D、无解
知识点六：二次根式的加减
【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意:对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【典型例题】
例15、（1） (2)
知识点七:二次根式的混合计算与求值
【知识要点】
1、确定运算顺序；
2、灵活运用运算定律；
3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;
【典型习题】
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例16、已知:，求的值．
练习：1、已知：，求的值．
2、已知、是实数，且，求的值．
3、已知，求的值 ．
4、计算（2＋1）(＋＋＋…＋)
二次根式易错及高频考题
要使有意义，则x的取值范围是
2. 若y=++,则（x+y)2003=
3。 若最简根式与是同类二次根式，则m=
4。 若的整数部分是a，小数部分是b，则a－=
5．计算：=______；=______，=________
6．若1＜x＜2,则=_______
实数P在数轴上的位置如图所示：则=__________.
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8、把中根号外的移人根号内得__________
9、若,则的取值范围是________
10、若化简式子|1－x｜－，则x的取值范围是_________
11、式子成立的条件是________
12．若,则的结果为________
13．若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为________
14．若，且成立的条件是________
15．若,则等于_____
16。 计算：的值是（ ）
A。 0 B. C. D. 或
17。 把的根号外的因式移到根号内等于 .
18。 若,则等于（ ）
A. B。 C。 D.
19、使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
20、若，则等于( )
（A)0 （B） （C） （D）0或
21．已知是实数,且,则与的大小关系是（ ）
（A） （B） （C) （D)
22。 已知，求的值。
23。 已知为实数，且，求的值.
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24. 化简：
25。 把根号外的因式移到根号内:
26、计算