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高中立体几何证明垂直的练习
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为
线线垂直,而证明线线垂直一般有以下的一些方法：
通过“平移”.
利用等腰三角形底边上的中线的性质。
利用勾股定理.
利用三角形全等或三角行相似.
(5） 利用直径所对的圆周角是直角，等等。
(1） 通过“平移”，根据若
P
E
D
C
B
A
1．在四棱锥P—ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD,AB=DC，。求证：AE⊥平面PDC.
分析:取PC的中点F,易证AE//BF，易证
BF⊥平面PDC
（第2题图）
2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点
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E为棱AB的中点．
求证：平面PCE⊥平面PCD；
分析：取PC的中点G，易证EG//AF,又易证AF⊥平面PDC
于是EG⊥平面PCD，则平面PCE⊥平面PCD
3、如图所示，在四棱锥中，,,,是的中点，是上的点,且，为中边上的高。
(1）证明：;
（2)若求三棱锥的体积;
（3)证明:。
分析：要证，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF//GD， 易证DG⊥平面PAB
（2)利用等腰三角形底边上的中线的性质
A
C
B
P
5、在三棱锥中，,，，．
（Ⅰ）求证:；
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（Ⅱ)求二面角的大小；
6、如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º
证明：AB⊥PC
因为是等边三角形,，
所以，可得。
如图,取中点,连结,,
则,,
所以平面,
所以。
（3）利用勾股定理
_
D
_
C
_
B
_
A
_
P
7、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形, 求证:平面;
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8、如图1,在直角梯形中，,，且．
现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1)求证：∥平面；
（2)求证：平面；

9、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点,

（1）求证：平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小;
（1）证明：连结OC


在中,由已知可得
而
即
平面
10、如图，四棱锥中,,,侧面为等边三角形，．
（Ⅰ）证明：;
(Ⅱ）求与平面所成角的大小．
解法一：
（I）取AB中点E，连结DE,则四边形BCDE为
矩形,DE=CB=2，连结SE，则
又SD=1，故,
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所以为直角.
由，
得平面SDE，所以。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直.
所以平面SAB。
（4）利用三角形全等或三角行相似
11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，
求证：D1O⊥平面MAC.
分析：法一：取AB的中点E,连A1E,OE，易证△ABM≌A1AE,
于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM，
∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O
法二：连OM，易证△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM
12．如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,
D为CC1中点. 求证：AB1⊥平面A1BD；
分析： 取BC的中点E，连AE，B1E,易证△DCB≌△EBB1,从而BD⊥EB1
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13、。如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F,
求证:A1C⊥平面BDE；
（5)利用直径所对的圆周角是直角
14、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点,PA⊥平面ABC.
（1）求证:平面PAC⊥平面PBC;
（2)若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.
15、如图，在圆锥中，已知=，⊙O的直径，C是狐AB的中点，为的中点．证明:平面平面；
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16、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面．以的中点为球心、为直径的球面交于点．
求证:平面⊥平面；
．
证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上,则ＢＭ⊥ＰＤ。
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ,则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ,
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.