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任课教师：李栋
航空学院流体系
翼型叶栅空气动力学重点试验室
中楼303室
Tel：88460290
Mail: ******@
定义: 重要是指从物理学及其他各门自然科学、技术
科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分
方程、微分积分方程等), 例如
特点: 反应了有关的未知变量有关时间的导数和有关
空间变量的导数之间的制约关系。
范围: 持续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基
本方程都属于数学物理方程的范围。
数学物理方程
“一切科学的理论，总是从实践中来，又回到实践中去，接受检查，指导实践，同步在实践中丰富和发展自已。”
力学问题
弦线振动问题
流体运动、弹性体振动、
热传导、电磁作用、
原子核-电子作用、化学反应
偏微分方程
（基本规律）
偏微分方程
（基本规律）
求解数学物理方程
定解问题
预测自然现象变化
（气象预报等）
多种工程设计
（机械强度计算等）
物理问题
数学问题（方程）
求解的措施
分离变量法
特殊函数
边界与初始
泛定方程与定解条件
数学
数学物理方程
偏微分方程理论
偏微分
方程理论
新课题、新措施
自然现象
实际问题
历史悠久
对象、
内容、
措施
纯粹数学
泛函分析
复变函数
微分几何
计算数学
多样
复杂
处理问题的工具
纯粹数学、分支
自然科学、技术科学
数学物理方程
分支
课 程 概 览
二、热传导方程（抛物型）
三、调和方程 （椭圆型）
四、二阶方程的分类总结
五、一阶偏微分方程组
七、偏微分方程的数值解
一、波动方程 （双曲型）
1. 方程导出、定解条件
2. 初值问题求解
3. 初边值问题求解
第一章 波动方程
物理背景：波的传播和弹性体振动。
§1-1 一维波动方程的导出、定解条件
首先，考察下面的物理问题：
给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。
基本假设：
1. 弦是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽视。
弦可以视为一条曲线，线密度为常数。
2. 弦在某平面内作微小横振动。弦的位置一直在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。
基本规律：
牛顿第二定律 F=m*a
冲量定理 F∆t=m*(v1-v2)
3. 弦是柔软的，它在形变时不抵御弯曲。
弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形
与张力的关系服从虎克定律。
F∆t=m*a* ∆t
用u(x, t)表达弦点在时刻t沿垂直于x轴的位移。
由基本假设2可知，
与1相比可以忽视不计，因此
因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关
T(x,t)
T(x)
（2）由于弦只在x轴的垂直方向作横振动，因此水平方向的合力为零，即
由基本假设2可知，
，因此
因此，弦的张力大小与空间变量x无关 ，可以把弦线的张力T(x)在x轴方向的分量当作常数Ｔ。
（1）任取一弦段(x, x+Δx)，它的弧长为
（3）对于图中选用的弦段而言，张力在x轴垂直
方向上的合力为：
在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：
（4）另首先，在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：