理论力学 哈密顿理论在物理学中的应用公开课一等奖课件赛课获奖课件.ppt

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§ 持续体系的拉格朗曰方程
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un+1
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un -1
un -2
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§ 电磁场的拉格朗曰方程
§ 薛定谔波动力学方程的建立
采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。氢原子哈密顿函数为
§ 刘维尔定理
相空间中记录系综的分布密度在运动过程中不变。
证明：记录系综的一种“样本”：力学体系有N个相似的粒子，每个粒子的坐标和动量为q、p 。
记录系综是由与这个力学体系的构成完全相似，但初始条件不一样的许多种“样本”构成。
单个粒子相空间( 6 维空间)：
3个坐标分量q， 3个动量分量p。
N个粒子构成 空间( 6 维空间).
t 时刻，每个“样本”的q、p 确定，因此  空间中的每一种点表达一种“样本”在某一时刻的状态，这样的点称为“代表点”。因此记录系综就是 空间中的一群代表点。
这群代表点在  空间中的分布一般是不均匀的，因此可引入代表点密度的概念。
这是由于代表点的相轨迹是不会相交的。若相交，则表明相似力学体系在相似初始条件下有不一样的运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。
设在d 1 内，代表点的数目为dN1，则  = dN1 /d1 就代表点在d1 区域中的密度。通过时间 t 后，本来在d 1中的代表点运动到  空间的d 2的位置，如图所示，这两个体积元代表点的数目是相似的，即dN1 = dN2 。
p
q
d1
d2
刘维尔定理：相空间中记录系综的分布密度在运动过程中不变，即 =dN1/d1=dN2/d2=常数。
由于dN1=dN2 ，因此要证明上式，只要证明d1 = d2。分两步证明：
1、证明一种粒子的一对正则变量q、p 从t 到 t+dt 的变化可当作是一种正则变换。
证：只要找到一种合适的母函数，使变换后的新正则变量Q、P 为
Q= q+ dq ， P= p+ dp ， =1,2, … ,N (1)
若取第二类正则变换母函数 F2 (q, P) = qP (2)
则:
这是全同正则变换。
Q= q+ dq ， P= p+ dp ， =1,2, … ,N (1) F2 (q, P) = qP (2)
比较(1)和(2)式,两者只相差无穷小量 dq和dp,因此认为要得(1)式，可在(2)式的母函数中再加上一种无穷小量，即可取
F2 (q, P) = qP + G(q, P, t) (4)
 为无穷小量， G 为任意函数。忽视二阶小量， (4)式近似为：F2 (q, P)  qP + G(q, p, t) (5)
(5)式正则变换称为无穷小正则变换。
F2 (q, P)  qP + G(q, p, t) (5)
令  = dt， G(q, p, t) = H(q, p, t) ，代入(5)式，得
F2 (q, P)  qP + H(q, p, t)dt (6)
运用此母函数即得：
上式即为(1)式，即证明了相空间体积从d1变换为d2是一种正则变换.
2、证明相空间体积在正则变换下保持不变，即P =…dq1…dq3N dp1…dp3N = …dQ1…dQ3N dP1 …dP3N
当积分自变量从q、p 变到 Q、P 时，体积元的变换为：
…dQ1 …dQs dP1 …dPs = …Ddq1 …dqs dp1 …dps (7)
式中D为雅可比行列式：
只要证明:
D = 1
在证得了s = 1 时，D = 1，再运用雅可比行列式的某些性质，就可证明当 s = 3N 时也成立。由于运算比较繁琐，这里从略。  综合以上所得，刘维定理成立。
代表点密度为  =  (q、p、t)，其运动方程为