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(完整word)“隔板法”解决排列组合问题
(完整word)“隔板法”解决排列组合问题
“隔板法”解决排列组合问题(高二、高三）
排列组合计数问题,背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法"可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解，下面通过典型例子加以解决.
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1,2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
（2)12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种?
（3）12个相同的小球放入编号为1,2,3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,问不同的方法有多少种？
解：（1)将12个小球排成一排，中间有11个间隔,在这11个间隔中选出3个,放上“隔板"，若把“1"看成隔板，则如图001000010000100隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1,2，3，4四个盒子相应放入2个，4个,4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有=165种。
（2）法1:（分类）①装入一个盒子有种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子,每盒至少装一个有=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有种；由加法原理得共有4+66+220+165=455种.
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有种.
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子,共有种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球,则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有
由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
例2、（1）方程的正整数解有多少组？
（2） 方程的非负整数解有多少组？
（3）方程的非负整数整数解有多少组？
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解:(1）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子,每盒至少装一个,有种，所以该方程有84组正整数解.
（2）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒,先给每个小盒装一个，进而转化为14个相同的小球装入4个不同的盒子,每盒至少装一个，有种，所以该方程有286组非负整数整数解.
（3）当时，转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子，可以有空盒,有种。当时，转化为1个小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有=9种;所以该方程有165+9=174组非负整数整数解.
例3、已知集合，选择 的两个非空子集，且中最大的元素比中最小的元素小，则选择方法有多少种？
解：由题意知的交集是空集，且的并集是的子集，所以至少含有两个元素，将中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给，后边的给,至少含有1个元素，设中有个元素,则转化为个相同的小球装入2个不同的盒子，则有 种装法,故本题有种选择方法。
总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时,我们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板",若出现每组元素数目为0个时，向每组元素数目至少一个的模型转化,然后用“隔板”法加以解决。