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线性代数
课 程 教 案
学院、部
系、所
授课教师
课程名称 线性代数
课程学时 45学时
实验学时
教材名称
年 月 日
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线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 3 节
授课题目（教学章节或主题）:第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数
§3 阶行列式的定义
§4 对换
本授课单元教学目标或要求：
会用对角线法则计算2阶和3阶行列式.
知道阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点,以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：行列式的定义
计算排列的逆序数的方法
设是这个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比大的数排在前面，记为；
再看有多少个比大的数排在前面,记为；
……
最后看有多少个比大的数排在前面，记为；
则此排列的逆序数为。
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阶行列式
其中为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列求和。
阶行列式中所含个数叫做的元素，位于第行第列的元素，叫做的元.
对角线法则:只对2阶和3阶行列式适用
重点和难点：理解行列式的定义
行列式的定义中应注意两点：
和式中的任一项是取自中不同行、不同列的个元素的乘积。由排列知识可知，中这样的乘积共有项。
和式中的任一项都带有符号，为排列的逆序数，即当是偶排列时,对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号。
综上所述,阶行列式恰是中所有不同行、不同列的个元素的乘积的代数和，其中一半带正号,一半带负号。
例：写出4阶行列式中含有的项。
解:和。
例:试判断和是否都是6阶行列式中的项.
解：下标的逆序数为，所以是6阶行列式中的项。
下标的逆序数为，所以不是6阶行列式中的项.
例：计算行列式
解：
本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合
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首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三)阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出阶行列式的定义.
通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。
本授课单元思考题、讨论题、作业：
§1 1(1)(3)
§2 2（5）(6）
本授课单元参考资料(含参考书、文献等，必要时可列出)
线性代数附册 学习辅导与习题选讲(同济第四版）
线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式
§5 行列式的性质
§6 行列式按行(列）展开
§7 克拉默法则
本授课单元教学目标或要求：
知道阶行列式的性质.
知道代数余子式的定义和性质.
会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的阶行列式.
知道克拉默法则。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等)：
基本内容：
行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等.
互换行列式的两行（列)，行列式变号。
行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式;或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子，则可提到行列式记号之外。
行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。
若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。
把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
行列式的按行(列）展开
把阶行列式中元所在的第行和第列划去后所成的阶行列式称为元的余子式，记作;记，则称为元的代数余子式.
阶行列式等于它的任一行（列）：
；
或可以按第列展开：
.
行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
，
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或 .
克拉默法则
含有个未知元的个线性方程的方程组
当全为零时,称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。
如果方程组的系数行列式,那么它有唯一解：,其中是把中第列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的阶行列式。
如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式。
如果齐次线性方程组的系数行列式，那么它只有零解;如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零.
用克拉默法则解线性方程组的两个条件:（1） 方程个数等于未知元个数;（2） 系数行列式不等于零。
。
一些常用的行列式
上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即
特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即.
类似地，.
设,，则
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。
范德蒙（Vandermonde）行列式
计算行列式常用方法：（1)利用定义；（2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。
重点和难点:行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列)展开等基本方法来简化行列式的计算。
例:课本P。12例7—例9
例：
例：课本P。25例16
本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合
以从行列式的定义为切入口，(列）展开等基本方法来简化行列式的计算。
本授课单元思考题、讨论题、作业：
思考题
问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组?为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
本授课单元思考题、讨论题、作业：
§5 4(1）(2）（3）,5(1)（2），7（1)(2） （5)
§6 P。26 5 (4),7 （3) (6）
§7 8(1)，9
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
线性代数附册 学习辅导与习题选讲(同济第四版）
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线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）:
矩阵及其运算
§1 矩阵
§2 矩阵运算
§3 逆矩阵
§4 矩阵分块法
本授课单元教学目标或要求：
掌握矩阵的定义，矩阵的加减法\数乘\转置\矩阵求逆\矩阵的行列式\分块矩阵等运算，了解矩阵
多项式运算
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分3次课完成，第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算;第二讲: §3逆矩阵；第三讲: §4矩阵分块法
第一讲: §1矩阵，§2矩阵的运算；
基本内容:§1 矩阵：
一 矩阵的定义，
定义1 由M×N个数组成的行列的数表
称为行列矩阵,简称M×N矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它，记作
这M×N个数称为菊阵A的元素，简称为元,数位于矩阵A的第行列,称为矩阵A的（I,J)元,以数为（I,J)元的矩阵可简记为或,M×N矩阵A也记着.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵
行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵, 阶矩阵A也记作。
只有一行的矩阵
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称为行矩阵，又称为行向量, 行矩阵也记作
只有一列的矩阵
称为列矩阵,又称为列向量.
两个矩阵的行数相等，列数也相等，称它们是同型矩阵,如果A=,B=是同型矩阵,,并且它们的对应元素相等,即
)，
那么就称矩阵A与矩阵B相等，级作
A=B
元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O,不同型的零矩阵是不同的.
§2 矩阵的运算
一 矩阵的加法
定义2 设有两个矩阵A=和B=，那么矩阵A与B的和记着A+B,规定为
两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.
矩阵加法满足下列运算规律（设A,B，C都是矩阵）：
(） A+B=B+A;
()(A+B）+C=A+(B+C)
A=的负矩阵记为
-A=
A+(—A）=O
规定矩阵的减法为
A—B=A+(—B)
二 矩阵的数乘
定义3 数与矩阵A的乘积记作或,规定为
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矩阵数乘满足下列运算规律(设A，B为矩阵，为数）：
（1） ；
(2)
（3）
重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义，,通过练习提高学生的计算准确率。
三 矩阵乘矩阵
定义4 设A=(）是一个矩阵，B=（）是一个矩阵，那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵C=（)，其中
把此乘积记为
C=AB
且有
例4 求矩阵
A=与
的乘积
解 C=AB==
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