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(完整word版)曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究
(完整word版)曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究
曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究
例题1（2013天津预赛5)如果曲线的两条互相垂直的切线交于点P，则P点的坐标不可能是（ ）
(A) (B） (C) （D）
解析 设曲线在点的切线交于点P，那么由题意可知：，其中；即有。
又，则有,当且仅当时,等号成立.
因此，当时，，即可知。
那么，。 故可知(C)错。
评注 此题或先求出和两个交点，再利用周期为，同样得解.
例题2（2013山东预赛10）假设实数b，c满足，且的图象上存在两条切线互相垂直，则a的取值范围是 ．
解析 ；设图象上两条切线在曲线上的切点分别为,则有. 即：
①
在①中，令,展开后有,由可知，又
②
在②中,由于,那么,即 ③，因此由②③可知，，代入到①中解得。
综上可知：a的取值范围是。
评注 此题可溯源到如下例题：
例题3 已知函数，
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（ I ） 记，求的极小值；
（II) 若函数的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数的值及相应的切点坐标。
（II)解析 ,那么，设切点分别为
由题意知,即有,展开得到
①,
在①中，由可知,,即。
又，则代入得。 并且切点坐标为，,其中。
例题4（2014年南京市、盐城市高三二模第12题)设函数f(x）＝ax＋sinx＋cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B,使得曲线y＝f（x）在点A，B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为 ．
解析 ；那么，要使得函数f（x)的图象上存在两个不同点使得,必有。
又由得到，,那么得到：
，即有,解得。
评注 此题解法类似于如下两道例题：
例题4。1 已知函数的图象为曲线。
(1) 求过曲线上任意一点的切线的斜率的取值范围；
(2) 若在曲线上存在两条互相垂直的切线,求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；
(3） 略
解析 (1） ；
（2)由(1)可知：,解得或；代入解得.
设函数的图象关于原点对称,且时,取极小值，
（1) 求的值；
(2) 当时，图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.
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（3) 略
解析(2) 不存在这样的两点
由（1）得，假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，则，即①.
因为，那么，得到，故①不成立.
例题5(2010年雅安三模)二次函数y＝x2-2x＋2与y＝-x2＋ax＋b（a〉0，b〉0)的图象在它们的一个交点处互相垂直，则的最小值是（ ）
(A) （B） （C)4 (D)
解析 设两个函数交与，则有，即.
又y0＝x02-2x0＋2与y0＝-x02＋ax0＋b，得到2 x02-（2+a) x0+2-b=0;亦即；
因此，可得，即。
故,当且仅当时,等号成立。
例题6已知函数的图象在(）处的切线互相垂直,则的最小值为( ）
（A） （B） 1 (C) (D） 2
解析 ，由可知.
那么；其中，当且仅当，即
时，等号成立。