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河南省 2023-2024 学年高二数学下学期 6 月调研考试
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
， ，则 ( )
A. B. C. D.
的实部为( )
A. 2 B. 1 C. D.
ABCD 中，E 为 CD 中点，AC 与 BD 交于 O，记 ， ， ，则
( )
A. 1 B. C. D.
表示椭圆，则实数 k 的取值范围是( )
A. B. C. D.
满足对 都有 ， ，则 ( )
A. 1 B. 2024 C. 2 D. 2025
a，b，c 满足 ，则 的最小值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
3 的正三棱柱的各个顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为( )
A. B. C. D.
中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 15 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5
分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
28、30、32、36、36、42 的( )
A. 极差为 14 B. 平均数为 34 C. 上四分位数为 36 D. 方差为 20
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，M 为 C 右支上的一个动点，过 M 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为
A，B，O 为坐标原点，则四边形 OAMB 的周长的可能取值有( )
A. 5 B. 8 C. 6 D.
，则( )
A. 的值域为 B. 的最小正周期为
C. 在 上单调递减 D. 的图象关于直线 对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
，则 __________.
13. 展开式中 项的系数为__________.
的直线 l 与曲线 有且仅有两个不同的交点，则 l 斜率的取值范围为
__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 12 分
已知首项为 的数列 满足
求 的前 n 项和
中能否存在连续的三项 ， ， 成等差数列?若能，求出 k 的值;若不能，请说明
理由.
16. 本小题 12 分
夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，
若该同学投篮 4 次，求恰好投中 2 次的概率;
若该同学在每一节比赛中连续投中 2 次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮 4 次后不管有没有连
续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数 X 的概率分布列及数学期望.
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17. 本小题 12 分
如图，在四棱锥 中， ， ，平面 平面 ABCD， ，M， N 分
别是 AD，CQ 的中点.
证明：
若 ，直线 MN 与平面 QBC 所成角的正弦值为 ，求 QM 的长度.
18. 本小题 12 分
已知抛物线 ，M，N 为 C 上的两个动点，直线 MN 的斜率为 k，线段 MN 的中点为
证明：
已知点 ，求 面积的最大值.
19. 本小题 12 分
证明：当 时，
已知函数 ，若 的极大值点为 0，求实数 a 的取值范围.
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，
A 和 B，再利用交集运算即可求解.
【解答】解：由
，得 或 ，
所以 或 ，
则
故选
2.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、复数的概念，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、复数的概念即可得出．【解答】解：因为
，
其实部为
故选
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面向量加减与数乘混和运算，属于基础题，根据题意计算即可.
【解答】解：由题意得
，所以 故选
4.【答案】D
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【解析】【分析】本题主要考查椭圆的性质，属于基础题，根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解．【解答】解：因为曲线
表示椭圆，
则应满足 即
故选
5.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了函数的基本性质，
的周期为 3，以及 ，即可求出结果.
【解答】解：由
，令 ，可知 ，即 ，
又因为 ，所以函数 的一个周期为 3，则
故选
6.【答案】D
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，利用“对勾”函数的单调性求最值，
，利用基本不等式可得 ，进而转化为“对勾”函数的单调性求最值.
【解答】解：
，当且仅当 时等号成立，
令 ，
又 在 上单调递增，
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所以当 时，y 的最小值为
故选
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查球的表面积以及球的切、接问题，，确定球心及外接球半径，然后利用球的表面积公式，求出球
O 的表面积.
【解答】解：如图：设正三棱柱的上，下底面的中心分别为
， ，连接 ，设线段 的中点为 O，则 O 为
其外接球的球心.
因为等边三角形 ABC 的边长为 3，
所以 ，
所以球 O 的半径 ，
故球 O 的表面积
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得
，结合 A，B 是锐角，可得
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，由三角形内角和定理可求范围 ，利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数
的性质即可求解其范围．
【解答】解：
，
由正弦定理可得： ，
又 ，
，可得： ，
，
，B 是锐角，
，即 ，
，
可得： ， ，
故选：
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
【分析】本题主要考查了数据的极差，平均数，百分位数，以及方差，，平均数，百分位数，以及方差的定义即可判断.
【解答】【解答】解：极差为
，故 A 正确;
平均数为 ，故 B 正确;
因为 ，所以样本数据的上四分位数为从小到大排列的第 5 个数，即 36，故 C 正确;
方差 ，故 D 错误.
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线以及点到直线的距离、利用基本不等式求最值，属于一般题，根据题意以及点到直线的距离，再利用基本不等式计算即可.
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【解答】解：设
，则 ，
因为渐近线方程为 ，
所以 ，
，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，
所以四边形 OAMB 的周长为
故选
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了正弦函数性质的综合应用，属于一般题，利用平方关系及二倍角公式将函数化简为
，
根据正弦函数的值域可判断选项 A，
根据正弦函数图像的周期性可判断选项 B，
根据正弦函数图像的单调性可判断选项 C，
根据正弦函数图像的对称性可判断选项
【解答】
解：因为 ，
因为 ，所以 ，故 A 正确；
因为 的最小正周期为 ，
而 的图象是由 的图象将 x 轴下方的部分关于 x 轴对称上去，
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x 轴及 x 轴上方部分不变，
所以 的最小正周期为 ，
故 B 错误；
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
故 C 正确；
因为 ，
所以 关于 对称，
故 D 正确；
故选：
12.【答案】 ；
【解析】【分析】
本题考查三角函数的恒等公式，属于基础题，利用正切函数的倍角公式计算，计算即可.
【解答】解： ；
13.【答案】528；
【解析】【分析】
本题考查指定项的系数，属于基础题，求出
的通项公式即可求出含 的项，即可求解.
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【解答】解： ，
因为 展开式第 项为 ，
所以 的系数为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题，根据题意，将曲线
，变形为 ， ，分析可得其为圆的上部分，
结合直线线与圆的位置关系即可.
【解答】解：由题意可设直线 ，又曲线 可化为 ， ，
作出直线 l 与曲线 的图象如图所示：
设图中直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，