浙江省杭州地区2023-2024学年高一数学下学期4月期中试题[含答案].pdf

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考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
U  R A 0,3,4 B 0,1,2
1. 已知全集 ，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（）
0 0,1,2 3,4 1,2
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
B U A
【分析】先确定阴影部分表示的集合为，再根据补集与交集定义求解.
U  R A 0,3,4 B 0,1,2
【详解】全集 ，集合，，
B U A 1,2
图中阴影部分的集合是.
故选：D.
2. 用一个平面截长方体，如果截面形状 是三角形，则该截面三角形不可能是（）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 锐角三角形 D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断.
ABCD  A1B1C1D1
【详解】如图 1，在正方体 中，
A1BC1 A,B,C
易知为正三角形，于是答案都有可能，
1 / 22 : .
如图 2，
若EFG为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设EF  FG ，
GB1  EF GB1  FG  G EF  ABB1A1
由正方体的性质可知： ，，所以平面，
EB1  ABB1A1
而 平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D 错误.
故选：D.
2iz  i z 
3. 已知 ，i 为虚数单位，则（）
1 1 5 5
A. 5 B. 3 C. 5 D. 3
【答案】C
【解析】
1 2i
z 
【分析】利用复数的除法运算计算可得 5 ，再由共轭复数概念计算可得结果.
i i2i 2i i2 1 2i
z    2 2 
2iz  i 2i 2i2i 2 i 5
【详解】由 可得，
2 2
1 2i  1   2  5
z  z      
5  5   5  5
所以 ，则.
故选：C.
2 / 22 : .
     
a  2,0 b  1,1 ma b  a  2b
4. 已知平面向量 ，，且，则m （）
1 3 1 3
A. 1 B. 2 C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】
   
ma b  a  2b
【分析】因为，所以两边平方即可得到关于m 的一元二次方程，解出m 即可.
         
a  2,0 b  1,1  a  2, b  2,a b  2 ma b  a  2b
【详解】 ，，，，
2 2   2 2   2
两边平方得：m a  2mab b  a  4ab  4b ，
2 1 1 3
m  m  0
化简得到，2 ，则m  2 .
故选：B.
5. 下列说法正确的是（）
A. 过空间中的任意三点有且只有一个平面
B. 四棱柱各面所在平面将空间分成 27 部分
C. 空间中的三条直线 a，b，c，如果 a 与 b 异面，b 与 c 异面，那么 a 与 c 异面
D. 若直线 a 在平面 外，则平面 内一定存在直线与a 平行
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本事实可判断 A 错误，由四棱柱的空间结构可判断 B 正确；利用异面直线定义可得 C 错误；
当直线和平面相交时可知 D 错误.
【详解】对于 A，若空间中的三点共线，可以有无数个平面，即 A 错误；
ABCD, A1B1C1D1
对于 B，如下图所示，四棱柱的上下底面 所在平面将空间分成了三层，
每一层又被四个侧面分成了9 个小部分，所以四棱柱各面所在平面将空间分成 27 部分,即 B 正确；
AD BB1 BB1 DC AD DC
对于 C，如选项 B 中图所示， 与异面，与异面，但与在同一平面内，即C 错误；
3 / 22 : .
对于 D，若直线 a 在平面 外，当直线a 在平面 相交时，如下图所示：
则平面 内不存在直线与a 平行，即 D 错误.
故选：B
       
  mn p  m n p 
m n p     m p
6. 若平面向量 ，，均是非零向量，则“ ”是“向量 与共线”的（）
A. 充要条件 B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算率和向量共线的条件，对充分性和必要性进行判断.
  
【详解】若平面向量m ，n，p 均是非零向量，
     
mnp  mn p
①充分性：当 时，
         
若mn  0，则n p  0，有m  n且n  p，所以向量m 与p 共线，
 
  n p 
  p     m  
mn  0  mn  m p
若 ，则有，有与共线，
充分性成立；
  
   m,n 
②必要性：当向量m 与p 共线时，设向量m 方向上的单位向量为e，，
        
 m  m e p  p e p,n 
若向量m 与p 方向相同，有，，，
             
mnp  m n p ecos mn p m n p ecos
则 ，，
     
mnp  mn p
满足 ，
        
 m  m e p   p e p,n  π 
若向量m 与p 方向相反，有，，，
                 
mnp   m n p ecos mn p m n p ecosπ    m n p ecos
则 ，，
     
mnp  mn p
满足 ，
必要性成立；
4 / 22 : .
      
mn p  m n p 
    m p
所以“ ”是“向量 与共线”的充要条件.
故选：A.
7. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量
雷峰塔的高度，在地面 C 处时测得塔顶 A 在东偏北 45°的方向上，向正东方向行走 50 米后到达 D 处，测
得塔顶 A 在东偏北 75°的方向上，仰角为 45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（）
A. 50 2 米 B. 50 米
25 6  2 50 6  2
C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】由题意画出简图，运用正弦定理和锐角的正切函数的定义，可得所求值.
BCD  45 CD  50 CDB 180 75 105
【详解】由题可得 ，，，
    
则CBD 180  45 105  30 ，ADB  45 ，
50 BD

CD BD 1 2
  
由正弦定理可得： sin30 sin 45 ，即2 2 ，解得BD  50 2 ，
Rt△ABD AB  DB tan 45  DB  50 2
在 中，.
5 / 22 : .
故选：A
lnx 1, x  1
f x 
x2  4x 3, x  1 y  2 f 2 x 3af x 1 2a
    
8. 已知函数 ，若函数有6 个不同的零点，
则实数 a 的取值可以是（）
2 2
A 3 B. 3C. e D. e
.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数图象，再根据函数零点个数以及二次函数根的分布情况，可求得a  3.
f x
【详解】作出函数 的图象如下图所示：
y  2 f 2 x 3af x 12a  0 t  f x
     
结合图象可知，令 ，令，
2t2 3at 1 2a  0 t1,t2 t1  t2
则可得方程 有两个不相等的实数根，不妨设；
8 2 34 8 2 34