浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二数学下学期6月期末测试试题[含答案].pdf

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2023 学年第二学期期末测试卷
高二数学学科试卷
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 ，只有一项是符合题目要
求的.
U {xN |0  x  5} U A 0,1,4 A 
1. 已知全集 ，，则（）
2,3,5 2,5 3,5 2,3
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的补集概念即得.
U {0,1,2,3,4,5} U A 0,1,4 A {2,3,5}
【详解】依题 ，由可得，.
故选：A
.
2
z  a 3a  2a 1iaR z a 
2. 已知 ），若为纯虚数，则（）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1 或 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据纯虚数的定义，即可列关系求解.
2
z  a 3a  2a 1iaR
【详解】 为纯虚数，
2
故a -3a+2 = 0且a 1 0，解得a  2.
故选：B.
y  f x y  3x
3. 已知函数 与是互为反函数，则（）
 1   1
f    1 f    2
 9   3 f 1 3 f 31
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
f x
【分析】首先得到 的解析式，再代入计算可得.
y  f x y  3x
【详解】因为函数 与是互为反函数，
1 / 17 : .
 1  1  1 1
f    log3  2 f    log3  1
f x log3 x  9  9  3 3
所以 ，则，，
f 1 log31 0 f 3 log3 3 1
，，即正确的只有D.
故选：D
4. 已知一个袋子中有大小和质地相同的 8 个球，其中有 3 个白球（标号为 1~3） ，5 个红球（标号为4  8）
，现从袋中不放回地依次随机摸出2 个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（）
13 13 13 17
A. 28 B. 56 C. 14 D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】根据分步以及分类计数原理，即可根据古典概型的概率公式求解.
【详解】不放回地依次随机摸出 2 个球,共有 87  56种选择，
则两次都摸到同色球共有3254  26 种选择，
26 13

故两次摸到同种颜色球的概率为56 28 ，
故选：A
5. 已知三个不同的平面 ,, ，且   ，则“    ”是“  / / ”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由垂直于同一平面的两平面相交或平行以及充分必要条件的定义判断即可．
【详解】解：若   ，   ，则 / / 或 与 相交，故不是充分条件，
反之，若   ， / / ，则   ，故是必要条件，
故选：B．
 
  b  2 a    
6. 已知向量 a ，b 的夹角为60，，且向量ab在向量b 上的投影向量为2b，则实数
 （）
3 2 9 3
A. 8 B. 7 C. 4 D. 2
【答案】C
2 / 17 : .
【解析】
 
【分析】利用投影向量概念列出向量方程，由条件求出ab ，代入计算即得.
  
(a b)b 
    2 b
【详解】向量ab在向量b 上的投影向量为|b | ，
    2    2
依题意，(a b)b  2|b | ，即a b  (  2) |b | ，
     1  2 9
a b  a  b cos60  |b |  
因4 ,代入解得， 4 .
故选：C.
2
f x 3ax  4x 1 1,1 a
7. 若函数 在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（）
 5   5 4  5  4  2  4
 ,1  ,   ,1    ,1  
A.  3  B.  3 3 C.  3  3 D.  3  3
【答案】C
【解析】
【分析】对a 进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解.
1
x 
【详解】若a  0 时，4x 1 0，则4 ，满足题意，
5
f 1 f 1  3a 5 3a 3  0   a 1
a  0        3 a  0
若，当，解得且，此时满足题意，
5
f 1  3a 5  0 a   f x  5x2  4x 1 5x 1 x 1  0
  3     
若时，，此时，
1
1,1 x 
此时方程在只有一根5 ，满足题意，
f 1  3a 3  0 f x  3x2  4x 1  3x 1 x 1  0
  a 1     
若时，，此时，
1
1,1 x 
此时方程在只有一根3 ，满足题意，
4 2
a  2
 1612a  0 3 f x 4x  4x 1 2x 1  0
当，得时，此时，
1
x 
此时方差的根为2 ，满足题意，
3 / 17 : .
5 4
  a 1 a 
综上可得 3 或3
故选：C
8. 在 ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，ABC 的面积为S，若
sinA
2 2 
2 3S bccosA  b  c ，则cosB  cosC （）
3 2 3
1
A. 3 B. 2 C. 2 D. 2
【答案】D
【解析】
π b c
2sin(A )  
【分析】根据三角形面积公式，以及和差角公式可得6 c b ，根据三角函数的性质以及基
π b c b c π
2sin(A )    2  A
本不等式可得6 c b ，且c b ,以及 3 ，即可代入求解.
2 2 2 2
【详解】由2 3S bccosA  b  c 可得3bcsin AbccosA  b  c ,
2 2
b  c  π  b c
3sin A cos A   2sin A   
故 bc  6  c b ，
b c  π  b c π π
  2,2sin A   2  A 
由于c b  6  ,当且仅当 c b ,以及 6 2 时，等号成立，
π b c π b c b c π
2sin(A )   2sin(A )    2  A
结合6 c b ，因此6 c b ，且c b ,以及 3 ，
3
sinA 2 3
 
π cosB  cosC 1 1 2
B  C  
故3 ,因此 2 2 ，
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 ，有多项符合题目要求，全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
A B PA 0 PB 0
9. 若 ，为两个随机事件，且，，则（）
A B PA B PA PB
A. 当 和互斥时，
4 / 17 : .
PAB1 PA PB
B. 当 A 和B 互斥时，
A B PAB 0
C. 当 和相互独立时，
PAB PAPB
D. 当 A 和B 相互独立时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概率公式以及性质，即可结合选项逐一求解.
A B PA B PA PB
【详解】对于 A, 当 和互斥时，,A 正确，
PAB1 P(A B) 1 PA PB
对于 B, 当 A 和B 互斥时，,B 正确，
A B PAB P(A)P(B)  0
对于 C, 当 和相互独立时，,故 C 错误，
PAB PAPB
对于 D，当 A 和B 相互独立时，A 和B 也相互独立，故，D 正确，
故选：AB