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弧微分
曲率及其计算公式
曲率圆与曲率半径
小结 思考题 作业
(curvature)
(arc element)
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前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。我们知道凹凸性反应是曲线弯曲方向，但是朝同一方向弯曲两条曲线，其弯曲程度也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度量，它等于单位路程上方向（角度——切线倾斜角）改变量。
2
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一、弧微分
要求
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为了得出曲线 y = f (x) 曲率公式, 先计算弧长函数s(x)对x微分,称为弧微分.
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4
单调增函数.
如图，
于是
弧 s
增量为
那末
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5
取极限,
即
又
得
弧微分公式
为单调增函数,
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6
如将
代入公式,得
弧微分公式
可化为参数方程形式
如曲线以极坐标方程给出
如曲线为参数方程
写到根式内,得
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二、曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）量。
)
)
弧段弯曲程度越大,
转角越大
转角相同，
弧段越短，弯曲程度越大
)
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)
y
x
o
（
设曲线C是光滑，
（
定义
曲线C在点M处曲率
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例1
(1) 直线曲率
(2) 圆上各点处曲率
直线曲率处处为零;
圆上各点处曲率等于半径倒数.
圆半径越小曲率越大.
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(1)
(2)
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