文档介绍：材材料料力力学学
第六章
弯曲变形
南京航空航天大学南京航空航天大学
陶秋帆等陶秋帆等
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第六章第六章弯曲变形弯曲变形
本章内容:
1 工程中的弯曲变形问题
2 挠曲线的微分方程
3 用积分法求弯曲变形
4 用叠加法求弯曲变形
5 简单静不定梁
6 提高弯曲刚度的一些措施
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§6. 1 工程中的弯曲变形问题
z 对梁除了有强度要求外,还有刚度要求。
大多数情况下,要求梁的变形不能过大;
一些特殊情况下,要利用弯曲变形。
z 求解静不定问题需要计算梁的变形。
§6. 2 挠曲线的微分方程
z 挠曲线梁的轴线变形后的曲线。
对称弯曲时,是一条平面曲线。
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§6. 2 挠曲线的微分方程
1 基本概念
z 挠曲线梁的轴线变形后的曲线。
对称弯曲时,是一条平面曲线。
z 弯曲变
形的度量
挠度
横截面形
心沿y方向
的位移,用v表示。 4
挠度
横截面形心沿y方向
的位移,用v表示。
转角
变形后,横截面相对其原来位置转过的角度。
用θ表示。转角θ以逆时针为正。
z 挠曲线方程 v = f (x)
转角即为挠曲线在该点的切线与x轴的夹角。
dv
tanθ=
d x 5
2 挠曲线的微分方程
上一章中,已得到:忽略剪力对变形的影响时,
梁对称弯曲时的曲率为
1 M(x)
=
ρ(x) EI
由高等数学公式
d2 v
±
1 2
= d x
2 3/2
ρ(x) ⎡⎛ dv ⎞⎤
⎢1+⎜⎟⎥
d x
⎣⎢⎝⎠⎦⎥ 6
d2 v
±
1 M(x) 1 2
= , = d x
2 3/2
ρ(x) EI ρ(x) ⎡⎛ dv ⎞⎤
⎢1+⎜⎟⎥
⎣⎢⎝ d x ⎠⎦⎥
d2 v
±
2 M(x)
d x =
2 3/2
⎡⎛ dv ⎞⎤ EI
⎢1+⎜⎟⎥
⎣⎢⎝ d x ⎠⎦⎥
这就是挠曲线的微分方程。
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d2 v
±
2 M(x)
d x =
2 3/2
⎡⎛ dv ⎞⎤ EI
⎢1+⎜⎟⎥
⎣⎢⎝ d x ⎠⎦⎥
z 挠曲线的近似微分方程
在小变形的情况下,
dv d2 v M(x)
≺≺1 ± =
d x d x2 EI
方程中正负号的确定
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z 挠曲线的近似微分方程
在小变形的情况下,
dv d2 v M(x)
≺≺1 ± =
d x d x2 EI
方程中正负号的确定
所以方程中
应取正号。
d2 v M(x)
=
d x2
EI 9
z 挠曲线的近似微分方程
在小变形的情况下,
dv d2 v M(x)
≺≺1 ± =
d x d x2 EI
方程中正负号的确定方程中应取正号。
d2 v M(x)
=
d x2 EI
dv
转角: θ≈ tanθ=
d x
注意: 挠曲线的近似微分方程仅适用于小变形的
平面弯曲问题。 10