广东省深圳市普通高中2020届高三数学下学期线上统一测试试题 文 参考答案.pdf

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绝密★启用前 试卷类型：（A）

2020 年深圳市普通高中高三年级线上统一测试
文科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1. B 2. A 3. D 4. B 5. D 6. C
7. B 8. B 9. C 10. B 11. B 12. B
二、填空题：
13. 7 14. 4 15. 4 16. 4 .
−9 3π 5，1
12.【解析】设F x x f x( ) ( )=，则Fx()= xf x f x x e ( ) ( ) (1 )+=− ， x
因此，x (0,1) ，Fx( ) 0 ，Fx()递增；x +(1, ) ，Fx( ) 0 ，Fx()递减．
因为当x→ 0 时，F (0) 0→ ，且有F (2) 0= ．
所以由 F x x f x( ) ( )=图象可知，当x (0,2) 时， F x xf x( ) ( ) 0=，此时 fx( ) 0 ．
：为使 PA + AF 1  3 F恒成立，只需1 F 2 3F1F2  ( PA + AF 1 ) max ，
由椭圆的定义可得， AF 1 + AF 2 = 2 a，
所以 PA + AF 1 = PA ，当且仅当− AFP,F2,A 2三点共线时取等号+ 2 a  (F2 PF 2 + 2 a
在线段PA 上)，
又点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为2a 的圆，所以圆上点P 到圆内点F2 的最大距离为
半径与OF2 的和，即 PF 2  2 a + c ，
所以 PA + AF  PF 2 a ++ c2 +a 2a = 4 a ，+ c
1 2
所以6c  4 a + c ，5c  4a ， c 4 ，
e = a  5
又e1 ，所以C 的离心率的取值范围为4  ．
5，1

深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 1 页（共11页）
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三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 ～2 1 题
为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答．
(一 ) 必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列{}an ，a1=4 ， ( 1) 4( 1)n a na n+−=+ nn+ 1 ()n  N .
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）若 1 ，求数列 {}bn 前n 项和为Tn ．
bn = aa
nn+1
解：（1）由 ( 1) 4( 1)n a na n+−=+ nn+ 1 ()n  N 可得，
28aa21−=， ………………………………1 分
3 2 12aa32−=，
4 3 16aa43−=，
……，
na n a nnn−−=( 1) 4− ，1 ( 2)n  …………………………2 分
累加得 na a nn −=++ 1 8 12 +4， ………………………3 分
所以 ， …………………4 分(4+4 ) nn
na nn =4+8 12 +4 =++… 2
得 a n nn =2 2( 2)+， ……………………5 分
由于a1=4 ，所以 a n nn =2 2( )+．N ……………………6 分
（2） 1 1 1 1 1，……………………9 分
b n ===−a a n n n n++++ (2 2)(2 4) 2 2 2 2 4()
nn+ 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
T n =−+−++−=−2 4 6 6 8 2 2 2 4 2 4 2 4[( ) ( ) ( )] ( )n n n+++
n ．………………………………………12 分
= 8 16n +
【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，
另外考查裂项相消法求数列的前n 项和．重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推
理等核心素养．

18．（本小题满分 12 分）
某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月
销售单价 x （单位：元 /件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量 yi 和月销售单价 xi
( 1,2,3, ,6)i = 数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
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月销售单价x （元 /件） 4 5 6 7 8 9
月销售量y （万件） 89 83 82 79 74 67
（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回
归直线方程分别为：yxˆ =−+ 4 105 ，yxˆ =+4 53 和 yˆ = − 3 x + 104 ，其中有且仅有一位实习
员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确
的，并说明理由；
（ 2 ）若用y = ax 2 + bx + c 模型拟合y 与 x 之间的关系，可得回归方程为
yˆ = − 0 . 375 x 2 + 0，经计算该模型和（. 875 x + 90 1）中正确的线性回归模型的相关指数. 25 R2
和 ，请用R2 说明哪个回归模型的拟合效果更好；
（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月
销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（ ）
参考数据： 6547  80 .91 .
解：（1）已知变量x ，y 具有线性负相关关系，故乙不对，
因为 4 + 5 + 6 + 7 ，+ 8 + 9 89 + 83 + 82 + 79 + 74 + 67
x = 6 y = = 6 . 5 6 = 79
代入甲和丙的回归方程验证甲正确． ……………………4 分
（2）因为0 .9702  0 .9524 且R2 越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果越好，
所以选用 yˆ = − 0 . 375 x 2 + 0更好．（言之有理即可得分）. 875 x + 90 . 25 ……………7 分
（3）由题意可知， z = x yˆ = − 0 . 375 x，……………………3 + 0 . 875 8 分x 2 + 90 . 25 x
即 3 3 7 2，则361 9 2 7 ，……………………361 9 分
z = − 8 x + 8 x + z4 = x− 8 x + 4 x + 4

令z=0 ，则 − 6547 + 7（舍去）或 6547+ 7 ，……………………10 分
x = 9 x = 9
令 6547 + 7 ，当x  (0,x0) 时，z 单调递增，当x  (x0 +  ) 时z 单调递减，
x0 = 9
所以当x=x0 时，商品的月销售额预报值最大， ……………………11 分
因为 6547  80 .91 ，所以x  ，
所以当x  时，商品的月销售额预报值最大． ……………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
如图，四边形ABCD 为长方形，AB BC ==24，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，将ADF
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沿AF 折到ADF 的位置，将 BCE 沿CE 折到BCE 的位置，使得平面 ADF ⊥ 底面
AECF ，平面BCE ⊥ 底面AECF ，连接BD，
（1）求证：BD// 平面AECF ；
（2）求三棱锥B −ADF 的体积．


解：（1）证明：作DM ⊥ AF 于点M ，作 BN ⊥ EC 于点N ，………………1 分
AD DF==2 ， BC BE==2 ， ==ADF CBE， 90
 M ，N 为AF ，CE 中点，且DM = BN = 2 ．……………………2 分
平面ADF ⊥ 底面AECF ，平面ADF 底面AECF = AF ，
DM ⊥ AF ，DM  平面ADF
 DM ⊥ 底面AECF ，……………………3 分
同理：BN ⊥ 底面AECF ，……………4 分
 DM // BN ，
 四边形DBNM为平行四边形,
 BD MN// …………………5 分
BD 平面AECF ，MN  平面AECF ，
 BD// 平面AECF ．…………………6 分
（2）设 点B 到平面ADF 的距离为h ，连接NF ．………………………………7 分
DM // BN ，DM  平面ADF ，BN  平面ADF
 BN // 平面ADF ，………………………………8 分
故点B 到平面ADF 的距离与点N 到平面ADF 的距离相等．………………………8 分
N 为CE 中点，EF CE ==2 ，
 NF CE ⊥ ，
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: .
AF CE // ，
 NF AF ⊥ ，…………………9 分
平面ADF ⊥ 底面AECF ，
平面ADF 底面AECF = AF ，NF  底面AECF ，
 NF ⊥ 平面ADF ，………………………10 分
 点N 到平面ADF 的距离为NF = 2 ，
 点B 到平面ADF 的距离h= 2 ．……………………………11 分
1 ，
S  AD F  ==2 2 2 2
 三棱锥B −ADF 的体积 1 1 2 2．………………12 分
V S hB AD F AD F−===3 3 322
20．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系xOy 中，过点F(2,0) 的动圆恒与y 轴相切,FP 为该圆的直径， 设点 P
的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点A(2,4) 的任意直线l 与曲线C 交于点M ,B 为AM 的中点，过点B 作x 轴的
平行线交曲线C 于点D ,B 关于点D 的对称点为N ，除 M 以外，直线MN 与C 是否有其它
公共点？说明理由．
【解析】（1）如图，过P 作y 轴的垂线，交y 轴于点H ，交直线x= −2 于点P1 ，
-------------------- 1 分
设动圆圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性
质得，PH = 2 r − 2 ，--------------