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第一节 图形
点、线、角
1 有且只有一条直线 2 两点之间 最短
3 补角定理: 4 余角定理:
5 过一点有 和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接所有线段中, 最短
平行
7 平行公理 通过直线外一点,
8 如果两条直线都和第三条直线平行,那么
9 平行线鉴定定理:
10 平行线性质定理:
三角形内角
11三边关系: 定理 推论
12 三角形内角和定理 ;直角三角形两个
13 外角推论: 推论1 三角形一种外角
推论2 三角形一种外角
全等三角形
14 全等三角形性质:
; ;
15全等鉴定:
(简称 ) :有 两个三角形全等
(简称 ) :有 两个三角形全等
(简称 ) :有 两个三角形全等
④ (简称 ) :有 两个三角形全等
⑤ (简称 ) :有 两个 三角形全等
角平分线
16 角平分线定理:
逆定理:
17 角平分线是 所有点集合
等腰三角形
18 等腰三角形性质定理 :
(即 )
推论1 等腰三角形顶角
19 等边三角形性质定理:
20 等腰三角形鉴定定理 :
( )
21等边三角形鉴定: 是等边三角形
是等边三角形
直角三角形
22 30°直角三角形: 三边关系:
23 45°直角三角形三边: ; 120°等腰三角形三边
24 直角三角形斜边中线定理:
25 勾股定理 :
勾股定理逆定理 :
轴对称
26 轴对称性质定理:
定理1 关于某条直线对称两个图形是 形
定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是
定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们相应线段或延长线相交,那么交点在
27 线段垂直平分线定理 :
逆定理 :
28线段垂直平分线可看作 所有点集合
多边形内、外角和
29多边形内角和定理 :
30多边形外角和定理 :
31 正n边形求一种外角公式 ;一种内角等于 或
平行四边形
32平行四边形性质定理::
33推论 夹在两条平行线间平行线段 ;平行线间距离处处
34平行四边形鉴定定理:
④ ⑤
矩形
35矩形性质定理:
36矩形鉴定定理:
④
十二、菱形
37菱形性质定理:
38菱形面积= =
39菱形鉴定定理:
正方形
40正方形性质定理 :
41正方形鉴定定理:
中心对称
42定理1 关于中心对称两个图形是
定理2 关于中心对称两个图形,对称点连线都通过对称中心,并且被 平分
逆定理 如果两个图形 都通过某一点,并且被这一点 ,那么这两个图形关于这一点对称
十五、等腰梯形
43等腰梯形性质定理
44等腰梯形鉴定定理
45平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得线段相等,那么在其她直线上截得线段
推论1 通过梯形一腰中点与底平行直线,必 另一腰
推论2 通过三角形一边中点与另一边平行直线,必 第三边
中位线
46 三角形中位线定理
47 梯形中位线定理
十七、比例性质
48 (1)比例基本性质 如果a:b=c:d,那么 如果ad=bc,那么
(2)合比性质 如果 ,那么
(3)等比性质 如果(b+d+…+n≠0),那么
相似
49 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得相应线段
推论 平行于三角形一边直线截其她两边(或两边延长线),所得相应线段
定理 如果一条直线截三角形两边(或两边延长线)所得相应线段 ,那么这条直线平行于三角第三边
50平行于三角形一边,并且和其她两边相交直线,所截得三角形三边与原三角形三边
51 定理 平行于三角形一边直线和其她两边(或两边延长线)相交,所构成三角形与原三角形
52 相似三角形鉴定定理:
鉴定定理1 两三角形相似(简称 )
鉴定定理2 ,两三角形相似(简称 )
鉴定定理3 ,两三角形相似(简称 )
53 直角三角形被斜边上高提成两个直角三角形和原三角形
射影定理:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB交AB于点D,则有 ;
; ;
54 性质定理1 都等于相似比
性质定理2 等于相似比
性质定理3 相似三角形面积比等于
三角函数
Sin( )= Cos(余弦)= Tan (正切)=
55 任意锐角正弦值等于 余弦值,任意锐角余弦值等于它余角
56 平方关系
某些特殊角三角函数值
三角函数
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
二十、圆
57圆定义:圆是 点集合;
到定点距离等于定长点轨迹,是 圆 。
58到两条平行线距离相等点轨迹,是和这两条平行线 一条直线
(1)弦:连接 任意两点线段叫做弦。
(2)直径: 叫做直径。直径等于半径2倍。
(3)半圆:圆任意一条 两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(4)弧、优弧、劣弧: 任意两点间某些叫做圆弧,简称弧。弧用符号“⌒”表达,以A,B为端点弧记作“ ”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。不不大于半圆弧叫做 (多用 字母表达);不大于半圆弧叫做劣弧(多用 字母表达)
59过三点圆
1、过三点圆: 三个点拟定一种圆。
2、三角形外接圆: 圆叫做三角形外接圆。
3、三角形外心:三角形外接圆圆心是 ,它叫做这个三角形外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆鉴定条件):
60垂径定理及其推论
垂径定理: 。
推论1:(1)平分弦(不是直径)直径垂直于弦,并且 。
(2) ,并且平分弦所对两条弧。
(3)平分弦所对一条弧 垂直平分弦,并且 。
推论2:圆两条平行弦所夹弧 。
垂径定理及其推论可概括为:
直径 知二推三
61 圆是以 为对称中心中心对称图形。圆还是是 图形,
是它对称轴。
62弧、弦、弦心距、圆心角之间关系定理
1、圆心角: 角叫做圆心角。
2、弦心距:从 叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间关系定理
在 中,相等圆心角所对 ,所对 ,所对弦 相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆 中有一组量相等,那么它们所相应别的各组量都分别相等。
63圆周角定理及其推论
1、圆周角: 角叫做圆周角。
2、圆周角定理: 。
推论1:同弧或等弧所对圆周角 ;同圆或等圆中,相等圆周角所对弧 。
推论2: 所对圆周角是直角;90°圆周角 。
推论3:如果三角形一边上中线等于这边一半,那么这个三角形是 。
64点和圆位置关系
设⊙O半径是r, 距离为d,则有:
点P在⊙O ; 点P在⊙O ; 点P在⊙O 。
65直线与圆位置关系
直线和圆有三种位置关系,详细如下:
(1)相交:直线和圆有 公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆割线,公共点叫做交点;
(2)相切:直线和圆有 公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆切线,
(3)相离:直线和圆 公共点时,叫做直线和圆相离。
如果⊙O半径为r,圆心O到 距离为d,那么:
直线l与⊙O ; 直线l与⊙O ; 直线l与⊙O ;
66切线鉴定和性质
1、切线鉴定定理: 。
切线性质定理:圆切线 半径。
切线鉴定办法: ; 。
67切线长定理
1、切线长:在通过圆外一点圆切线上, 线段长叫做这点到圆切线长。
2、切线长定理:
68三角形内切圆
1、三角形内切圆: 圆叫做三角形内切圆。
2、三角形内心:三角形内切圆圆心是 ,它叫做三角形内心。
69 正多边形和圆
直角三角形
等边三角形
正方形
外接圆半径R
内切圆半径r
任意三角形面积、周长、内切圆半径关系:S△=
正三角形面积=
70弧长和扇形面积
1、弧长公式: ;扇形面积公式: 其中n是 ,R是 ,是 。
2、圆锥侧面积:
其中是圆锥 ,r是 。
71、相交弦定理
⊙O中,弦AB与弦CD相交与点E,则
72、弦切角定理
弦切角:圆切线与通过切点弦所夹角,叫做弦切角。
弦切角定理:弦切角等于弦与切线夹弧所对 。
P
A
D
B
C
如图 即:∠ =∠
73、切割线定理
PA为⊙O切线,PBC为⊙O割线,则
74、割线定理
PAD和PBC为⊙O割线,则
数与式、记录
1、无理数估算
求一种无理数整数某些或小数某些,必要先把无理数放缩在两个相邻整数之间,可以采用先将无理数做平方,使得平方放缩在两个相邻整数平方之间。若a是一种无理数,m,n是相邻两个整数,且,则a整数某些为 ,小数某些为 。
2、相反数
从数轴上看,互为相反数两个数所相应点 ,到 距离相等。
如果a与b互为相反数,则有
3、若|a|=a,则a 0;若|a|=-a,则a 0。
4、倒数
(1)如果a与b互为倒数,则有 ,反之亦成立。倒数等于自身数是 。 没有倒数。
(2)若 Û a、b互为负倒数.
5、平方根
正数有 平方根,且她们互为 ;零平方根是 ; 没有平方根。正数a平方根记做“ ”。
有关公式:①;② ;③;④.
7、有效数字
一种近似数四舍五入到哪一位,就说它精准到哪一位,这时,从
都叫做这个数有效数字。
8、科学记数法:把一种数写做形式,其中 ,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。
9、幂运算(逆运算同样成立):
;;; ;
乘法公式:完全平方 ; ;
平方差 ;
立方和差 ;
因式分解普通环节:口诀:一提 。
乘法公式与因式分解 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2 变形为 a2+b2=
a2-2ab+b2=(a-b)2 变形为 a2+b2=
十字相乘法分解因式:ax2+bx+c= 其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0两个根
13、分式故意义条件:
分式有值为0:① ,② 。
分式有值为正数,则 。
分式有值为整数,则 。
一元二次方程求根公式:
根鉴别式:
根与系数关系 注:又叫韦达定理,前提必要化成普通形式ax2+bx+c=0
以x1、x2为根一元二次方程是:
15、平均数概念
(1)平均数:普通地,如果有n个数那么, 叫做这n个数平均数。
(2)加权平均数:如果n个数中,浮现次,浮现次,…,浮现次(这里),那么,依照平均数定义,这n个数平均数可以表达为 ,这样求得平均数叫做加权平均数,其中叫做权。
16、众数:在一组数据中, 数据叫做这组数据众数。
17、中位数:将一组数据按 ,把处在 位置一种数据(或
平均数)叫做这组数据中位数。