文档介绍：第四章
数系的扩充___复数
复数的概念
一. 复数的概念
数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展,数的概念也不断的被扩大和充实,从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充,推动了生产的进一步发展,也使数的理论逐步深化和发展,复数最初是由于解方程的需要产生的,后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
我们知道,对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,
当b2-4ac<0时,没有实数根。那么我们能否将实数集
进行扩充,使得在新的数集中,该问题可以得到圆满
的解决呢?
回答是肯定的。实际上最根本的问题就是要解决
1的开平方问题,即怎样的一个数,它的平方会等于
-1。
现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定:
(1)i21;
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。
这样就解决了前面所提出的问题,即1可以开平方,且-1的平方根为i.
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,
当b=0时,a+bi就是实数,
当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
全体复数所成的集合叫做复数集.
这样实数集就是复数集的一个子集。
它们的关系如下:
根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi和 c+di 相等规定为a+bi =c+di .
由这个定义得到 a+bi=0 .
两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。
如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.
m 取什么数值时,复数z=m +1+(m-1)i是:
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?
解:复数z=m+1+(m-1)i 中,因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,它们分别是z的实部和虚部,
∴(1)m=1时,z是实数;
(2)m≠1时,z是虚数;
(3)当时,即m=-1时,z是纯虚数;
(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y∈R,求x, y.
解:根据复数相等的意义,两个复数相等则实部等于实部,虚部等于虚部,得方程组,
解得 x= , y=4.