文档介绍：§3 对非线性方程组求解
非线性方程(组)非线性发展方程(组)可以描述许多复杂的物理现象,因此对其解的研究成为数学物理研究中的重要课题。并且人们已经提出了多种方法来求解非线性方程(组),本文仍是通过化非线性方程(组)为一般常微分方程组,并通过辅助函数对其求解。
考虑非线性耦合VB方程组
(1)
这是一个水波模型, 表示速率,u表示总的深度,本文通过构造适当的辅助常微分方程组,把求解偏微分方程组问题转化为求解代数方程组的问题,得到了非线性耦合VB方程组的一些新的精确解。
首先做变换,在这里主要探讨辅助函数在求解方程中的应用,所以常数等可以不考虑。为此,方程组(1)可以化为常微分方程组
(2)
假设方程组(2)有这种形式的解
(3)
其中为待定系数,可以不考虑,是立方非线性Klein—Gordon方程
(4)
的精确解,其中为常数,把(3),(4)两式代入方程组(2),则可得到
(5)
为此,对方程组(1)的求解,就转换为对辅助函数(4)的求解,下面我们讨论辅助函数(4)的解的构造。
利用Maple,则可得到方程组(1)的解为
为立方NKG方程的精确解,利用映射关系(6),就可得到(1)的许多显式精确行波解。
孤子解
1)当时,
2)当时,,
三角函数解
3)当时,,
4)当时,
冥函数解
5)当时,,